色のめがね

色のめがね 3.0 の理論

1. 概要

「色のめがね」には、画面の下の帯で切り替える 3 つの機能がある。

色を見分けると色を見つけるは、どの色を変えるかの決め方が違い、どう変えるか（§7）は共通である。どちらも、その人が区別しにくい色の違いに注目する。1 型・2 型・3 型の人は、それぞれ L・M・S 錐体のうち 1 種類の応答が他の人と異なり、その錐体の応答だけが違う 2 つの色を区別しにくい。色のめがねは、区別しにくい色どうしが別の色へ動くように、その錐体の応答の違いとは別の方向へ色を動かす。

このほか、カーソルの下の色名の表示がある。これも色のシミュレータ 4.0 と同じ仕組みである（§9）。

本稿は、色のシミュレータ 4.0 の理論と同じく、伝達関数、色空間の行列、錐体の行列、色度図、均等色空間までの式と定数をすべて書き、そのうえで、ゾーンの決め方（3 方式）、色の変え方、色を見つける仕組みを式で述べる。

1-1. 前提

以下を本稿全体の仮定とする。

1. 1. 白点: D65、$(x,y)=(0.3127,\,0.3290)$、$(u',v')=(0.19783,\,0.46832)$（sRGB および Display P3 の規格の定義値 [3][4][5]）。すべての変換で共通である。

1. 2. 観測者: 画像の色の XYZ は CIE 1931 2° 標準観測者 [6]（XYZ の定義 [7][8]）による。錐体の行列（§4）の作成と、ブーストの錨刺激（§7-5）の色度座標には、CIE 1964 10° 補助標準観測者（X10Y10Z10 表色系）の等色関数 [7] と、その色度座標の値（JIS Z 8701 付表 2 [9]）を用いる。

1. 3. 色空間: 入力と表示は、sRGB [3] または Display P3 [4][5] のいずれかとする。両者は伝達関数が同一で、原色のみが異なる（§2、§3）。以下の数値と図は、断りのない限り sRGB である。

1. 4. 量子化: 8 ビット（$0$〜$255$）。符号化値は画素値を $255$ で割った $0$ 以上 $1$ 以下の実数として扱う。

1. 5. 色順応: 入力と表示の白点がともに D65 であるため、色順応変換は行わない。

1. 6. 錐体の空間: XYZ から LMS への変換には、色のシミュレータ 4.0 と同じ行列（Hunt–Pointer–Estévez（HPE）の錐体の形を保ったまま、10° の XYZ に合わせて作り、D65 に正規化した行列）を用いる [9][10][11]。

1. 7. 色覚の型: 1 型・2 型・3 型は、それぞれ L・M・S 錐体の応答が他の人と異なる型とする。計算の上では、その錐体の応答を持たない二色覚のモデルで扱い、「シミュレーション強度」とは、それぞれの色覚タイプのうちもっとも強度の 2 色覚の色の見え方を 100%、元の画像を 0% として、その中間の画像を表示するための値である。異常 3 色覚（弱度の色覚異常）の色の見え方をシミュレーションするものではない（シミュレーション、§9）。

1. 8. 表示: 変えた色は、表示の色空間の線形 RGB の $0$〜$1$ に収めてから符号化する。色空間をまたぐ（入力が Display P3 で表示が sRGB など）場合も、§4 以後の計算は共通で、入力と表示の行列だけを取り替える。

1-2. 記法

• $R,\,G,\,B$: 線形 RGB の各成分。$0$ 以上 $1$ 以下とし、白を $1$ とする。$X,\,Y,\,Z$: XYZ の各成分（$Y$ は白を $1$ とする）。
• $\mathbf{c}$: 画素の色（XYZ）。符号化された RGB（各成分 $V$、$0\le V\le 1$）は、$\mathbf{c}_{\mathrm{in}}$・$\mathbf{c}_{\mathrm{out}}$ と書く。
• $L,\,M,\,S$: 錐体の応答（LMS）の各成分。$\mathbf{q}=(L,M,S)^{\mathsf T}$ と書く。D65 の白では $\mathbf{q}=(1,1,1)^{\mathsf T}$ である。
• $M$: 線形 RGB → XYZ の行列。$M_{\mathrm{LMS}}$: XYZ → LMS の行列。
• $u',v'$: CIE 1976 UCS の色度座標。$L^*,u^*,v^*$: CIELUV。$L,a,b$: Oklab（錐体の応答 $L$ と同じ記号だが、§5-3 と §6-5 でだけ使う）。
• $P$: ゾーンの位置（赤の原色 $0$、緑の原色 $1$。3 型は緑 $0$、青 $1$）。スライダーの値は $s=1-P$。
• $f$: 変化の大きさ（$0$〜$0.5$）。$\mathrm{age}$: 色の回転（$0$〜$1$ の 1 周）。$w$: ゾーンの幅、$a_Z$: ゾーンの開始（スライダーの値）。$w_S$: 色を見つけるの範囲の幅。

1-3. 処理の流れ

処理は、画像の各画素に次の順で適用される。

符号化された RGB ──(§2) 復号──▶ 線形 RGB ──(§3, §4) 行列──▶ XYZ・LMS
   色を見分ける:  ゾーンの位置 P（§6）で、ゾーンに入る画素を決める ─┐
   色を見つける:  探す色との u′v′ の距離（§8）で、近い画素を決める ─┴▶ 選ばれた画素
選ばれた画素 ──(§7) CIELUV で変える・色域の三角形へ収める──▶ 変えた XYZ
変えた XYZ ──(§4) LMS──▶（§9 シミュレーションを重ねるとき）──▶ 表示の線形 RGB（0〜1 に制限）──(§2) 符号化──▶ 符号化された RGB

2. 伝達関数（ガンマ）

符号化値 $V$（$0\le V\le 1$。8 ビットなら $\frac{\text{画素値}}{255}$）と線形値 $x$（$0\le x\le 1$）の間の関係を、伝達関数として定める [12]。IEC 61966-2-1 の sRGB の関数 [3] を用いる。

復号（符号化値から線形値へ）:

符号化（線形値から符号化値へ）:

2 本の式は $V=0.04045$（$x=0.0031308$）で連続である（$\frac{0.04045}{12.92}=0.0031308$）。Display P3 の伝達関数は sRGB と同一である。

符号化の前に、色域の外で負になった値は $0$ に置換する（負の数の累乗が定義されないため）。復号と符号化の結果は、いずれも $0$ 以上 $1$ 以下に制限する。

3. RGB と XYZ の間の変換

線形 RGB を列ベクトル $(R,G,B)^{\mathsf T}$ とし、白点を D65 とする。変換行列は、原色の色度と白点から次のように導出する [8][12]。

3-1. 原色と白点からの導出

原色 $i$（$i=\mathrm{R},\mathrm{G},\mathrm{B}$）の色度を $(x_i,y_i)$ とし、その方向ベクトル

を列とする行列を $P=[\mathbf{p}_{\mathrm R}\ \mathbf{p}_{\mathrm G}\ \mathbf{p}_{\mathrm B}]$ とする。白点の色度 $(x_w,y_w)$ に対する同形のベクトルを $\mathbf{W}$ とする。白（$R=G=B=1$）が $\mathbf{W}$ に写像される条件 $P\mathbf{S}=\mathbf{W}$ から、各原色の強さの係数 $\mathbf{S}=P^{-1}\mathbf{W}$ を定める。このとき RGB → XYZ の行列は

であり、白が $Y=1$ となる。XYZ → RGB の行列は $M$ の厳密な逆行列 $M^{-1}$ である。

3-2. sRGB

原色の色度は R$(0.64,\,0.33)$、G$(0.30,\,0.60)$、B$(0.15,\,0.06)$、白点は D65 の $(x,y)=(0.3127,\,0.3290)$ である（IEC 61966-2-1 [3]）。§3-1 により、倍精度の導出値を 7 桁で示すと次を得る。

3-3. Display P3

原色の色度は R$(0.680,\,0.320)$、G$(0.265,\,0.690)$、B$(0.150,\,0.060)$、白点は D65 の $(0.3127,\,0.3290)$ である（SMPTE EG 432-1 [4]、Apple の定義 [5]）。§3-1 により、同様に次を得る。

3-4. 色空間の置換

XYZ は色空間に依存しない。したがって、入力が sRGB で表示が Display P3 の場合でも、LMS への変換（§4）以後の計算は共通であり、入力と表示の行列だけを取り替えればよい。色のめがねの計算の定数（色域の原色の色度、ゾーンの定数）は、すべて表示の色空間の原色と白から計算する。

4. XYZ から LMS への変換

4-1. 錐体の行列（HPE の形を保った 10° の行列）

錐体の応答 $\mathbf{q}=(L,M,S)^{\mathsf T}$ は、XYZ の線形変換として与える。色のシミュレータ 4.0 と同じく、Hunt–Pointer–Estévez（HPE）[10] の錐体の分光感度の形を保ったまま、CIE 1964 10° 補助標準観測者の XYZ（X10Y10Z10。JIS Z 8701 の付表 2 [9]）から作った 3×3 の行列を用いる。HPE の変換は、CIE 1931 の XYZ から錐体の応答への次の行列（等エネルギー白に正規化した形）で表される（解説は [11]）。

10° の観測者向けの行列 $M_{\mathrm{raw}}$ は、波長 $\lambda$（380〜780 nm、5 nm 刻みの 81 点）の全体で、10° の等色関数が、HPE の錐体の感度を最もよく再現するように、重みなしの最小二乗で求める。10° の等色関数は $\bar{\mathbf{x}}^{(10)}(\lambda)=(\bar x^{(10)},\bar y^{(10)},\bar z^{(10)})^{\mathsf T}$（CIE 1964 [7]）、HPE の錐体の感度は $M_{\mathrm{E}}\,\bar{\mathbf{x}}^{(2)}(\lambda)$（$\bar{\mathbf{x}}^{(2)}(\lambda)$ は CIE 1931 の 2° の等色関数）である。数値はどちらも [13] の 1 nm 刻みの表から 5 nm ごとに取る。そのうえで、白点 D65 の XYZ（$\mathbf{W}$、§3-1）に対して $L=M=S=1$ となるよう、各行を $M_{\mathrm{raw}}\mathbf{W}$ の対応する成分で割って正規化する。

求めた値は 5 桁で次のとおりである。

この行列は公表された標準ではなく、色のシミュレータ 4.0 のために作った近似であり、錐体の形は HPE のままである（当てはめの残差、10° の錐体の物理的な違いの扱いは、色のシミュレータ 4.0 の理論の §4-1 に述べた）。この正規化により、D65 の白は $\mathbf{q}=(1,1,1)^{\mathsf T}$ に写像される。逆行列は次のとおりである（7 桁）。

この逆行列の列は、錐体 1 種類だけを刺激する色（$\mathbf{q}$ が $(1,0,0)^{\mathsf T}$・$(0,1,0)^{\mathsf T}$・$(0,0,1)^{\mathsf T}$ の方向の XYZ）で、§6 の混同色線の方向 $\mathbf{e}$ になる。

4-2. 線形 RGB と LMS の間の変換

線形 RGB から LMS への変換は、式 (4) の $M$ と式 (11) の $M_{\mathrm{LMS}}$ の積で与えられる。

入力と表示が sRGB の場合、7 桁の値は次のとおりである。

入力と表示が Display P3 の場合は、次のとおりである。

5. 色度と均等色空間

色のめがねは、色を CIELUV の空間で動かし、色度図 $u'v'$ の上で色域の三角形に収める。ゾーンの 3 方式のうち 2 つは、CIELUV と Oklab の距離を使う。この節で、それらの変換を定める。

5-1. XYZ と $u'v'Y$

XYZ から CIE 1976 UCS の色度座標 $(u',v')$ へ、および逆の変換は次のとおりである [7]。

分母が $0$ に近い場合（黒など）は、$(u',v')$ を白点 $(0.19783,\,0.46832)$ とする。この色度図は、色度の差が見た目の差におおよそ比例する均等色度図で、$xy$ 色度図より、距離で色の近さを測るのに向く。原点（黒）を通る平面（LMS・XYZ の上の）は、$u'v'$ の上で直線になる。§6 のゾーンの境目は、この性質を使う。

5-2. CIELUV

$L^*u^*v^*$ は、$Y$ を白の $Y_n$（本稿では $1$）で割った $Y_r$ と、式 (16) の $(u',v')$、白の $(u'_n,v'_n)$ から次のとおりである [7]。

逆変換は、$L^*>8$ のとき $Y_r=\left(\frac{L^*+16}{116}\right)^3$、それ以外は $Y_r=L^*/\kappa$ とし、$u'=\frac{u^*}{13L^*}+u'_n$、$v'=\frac{v^*}{13L^*}+v'_n$ である。$L^*\le 0$（黒）は、$u'v'$ を白点とし $Y=0$ とする。式 (18) の下側（$Y_r\le\varepsilon$）は、暗い色の線形の足である。2.21 は純べき乗だけで足が無く、黒が $L^*=-16$ になって逆変換が 0 で割る不具合があった。

5-3. Oklab

Oklab は、Ottosson の均等色空間 [14] で、XYZ（D65、$Y$ は白を $1$）から次の行列で作る。

立方根は成分ごとの符号つきの立方根（$\sqrt[3]{x}=\mathrm{sgn}(x)\,|x|^{1/3}$）である。

色全体を $k$ 倍すると、$\mathbf{q}'$ が $k$ 倍、立方根が $k^{1/3}$ 倍になるので、$L,a,b$ はどれも同じ割合 $k^{1/3}$ で変わる。したがって $a/L$ と $b/L$ は明るさに依らない。§6-5 の色度差分方式は、この $(a/L,\,b/L)$ を使う。

5-4. 色域の三角形

表示の色空間の原色の色度 $(u',v')$ は、式 (5)(7) の各原色の XYZ（$M$ の列）に式 (16) を当てて得る（sRGB の青の原色は、Display P3 と同じ）。

この三角形の外の色度は、表示できない。§7-6 で、変えた色をこの三角形に収める。2.21 は、sRGB の原色を 4 桁に丸めた値（赤 $(0.4497,\,0.5226)$ など）を直書きしていた。3.0 は、表示の色空間の原色から計算する。

6. 色を見分ける: ゾーンの決め方

色を見分けるは、画素の色にゾーンの位置 $P$ を与え、スライダーで選んだ範囲（ゾーン）に入る色を変える。$P$ の作り方が 3 種類あり、設定「ゾーンの割り振り」で選ぶ。

設定メニューの並びは P、A、Ch の順（保存される値もこの順）である。

6-1. 混同色線

型に対応する錐体（1 型は L、2 型は M、3 型は S）の応答だけが違う 2 つの色は、その人には区別しにくい。LMS の空間では、この 2 色は、その錐体の軸に平行な直線の上に並ぶ。この直線が混同色線である。XYZ の空間では、混同色線の方向は、その錐体だけを刺激する色 $\mathbf{e}$、すなわち式 (12) の対応する列である。

$\mathbf{e}$ の色度（式 (16)）を共点と呼ぶ。混同色線は、色度図 $u'v'$ の上で、共点を通る直線になる。共点は、1 型（L）$(1.1358,\,0.4044)$、2 型（M）$(-0.4563,\,0.6912)$、3 型（S）$(0.2090,\,0.0859)$ である。1 型と 2 型の共点は色度図の外の遠くにあり、混同色線はほぼ平行に並ぶ。3 型の共点は色度図の下にあり、混同色線は放射状に広がる（図 1）。

6-2. 色知覚平面

混同色線の全体を、1 枚の平面で代表させる。これが色知覚平面（Viénot ら 1999 の単一平面 [15]）である。原点（黒）を通り、1 型・2 型は表示の白・青・黄を通る平面、3 型は白・赤・シアンを通る平面である。平面は表示の色域（sRGB か Display P3 か）から決まり、錨刺激の波長には依らない。法線 $\mathbf{n}$ は、表示の白 $\mathbf{W}$ と、青（1 型・2 型）または赤（3 型）の原色 $\mathbf{B}$・$\mathbf{R}$（式 (5)(7) の $M$ の列）の外積である。

sRGB の値は、1 型・2 型 $\mathbf{n}=(0.8719106,\,-0.7068849,\,-0.1118652)$、3 型 $\mathbf{n}=(-0.2122453,\,0.4307443,\,-0.2102868)$ である。Display P3 は、1 型・2 型が $(0.9575963,\,-0.7763530,\,-0.1228586)$、3 型が $(-0.2493665,\,0.5299039,\,-0.2689407)$ である。

どの色 $\mathbf{c}$（XYZ）も、混同色線に沿って（$\mathbf{e}$ の方向に）この平面へ動かすと、その人に同じに見える色 $\mathbf{c}'$ になる。

$s$ は、$\mathbf{c}$ が平面からどれだけ離れているか（符号つき。赤側が $+$）を表す。平面の上の色（白・青・黄など）は $s=0$。$\mathbf{c}$ と $\mathbf{c}'$ の差は、その人が区別しにくい違いの大きさなので、これを軸にすれば、その人が見分けにくい色を並べられる。LMS の上では $\mathbf{e}$ は軸の単位ベクトルなので、$\mathbf{c}'$ は、$\mathbf{c}$ の LMS の型に対応する成分から $s$ を引いた色である。

6-3. 色度角度方式（P）

色度図 $u'v'$ の上に扇の中心 $(U_0,V_0)$ を置き、色の角度から軸を作る。

扇の中心は、色知覚平面の跡の直線（白と、青の原色（1 型・2 型）または赤の原色（3 型）を通る直線）が、色域の三角形に当たる 2 点 $\mathbf{E}_1$・$\mathbf{E}_2$ から決める。2 点の XYZ（$Y=1$）を、和が白に比例する大きさ（$s_1\mathbf{E}_1+s_2\mathbf{E}_2=\mathbf{W}$）に揃え、中心は、$s_2\mathbf{E}_2-s_1\mathbf{E}_1$ の色度とする（白の調和共役）。

$\theta_{\min}$・$\theta_w$ は、色域の端の角度で、1 型・2 型は赤の原色が $P=0$、緑の原色が $P=1$（$\theta_{\min}$ は赤の原色の角度、$\theta_w$ は緑と赤の角度の差）、3 型は緑の原色が $P=0$、青の原色が $P=1$ になるように決める。白の位置 $P_w$ は、白の角度から式 (25) で求める。原点を通る平面は $u'v'$ の上で直線になるので、等しい $P$ の線は、扇の中心から伸びる放射状の直線になる。定数は次のとおりである。

sRGB の値は、2.21 が直書きしていた値（中心 $(0.214608,\,0.700833)$・$(0.042256,\,0.434763)$、$\theta_{\min}=0.64566$・$-0.99599$、$\theta_w=1.49993$・$2.11836$、$P_w=0.66478$・$0.36988$）と、$2.1\times10^{-4}$ 以内で一致する（2.21 は原色を 4 桁に丸めていた）。1 型と 2 型は同じ扇を使う。同じ色の $P$ は色空間で変わる（スライダーは、その時の色域に対する比）。

6-4. 色の見え差分方式（A）

式 (24) の $\mathbf{c}'$ を使い、$\mathbf{c}$ と $\mathbf{c}'$ の CIELUV の距離を、元の明るさ $L^*(\mathbf{c})$ で割る。符号は $s$ に従う。

$\mathrm{Luv}(\cdot)$ は、式 (16)〜(19) による $(L^*,u^*,v^*)$ である（白は表示の白）。$\mathbf{c}$ と $\mathbf{c}'$ の明るさ（$L^*$）の差も距離に入るので、$A$ は明るさにわずかに依る（青紫の側で差が出る）。

6-5. 色度差分方式（Ch）

Oklab（式 (20)）の $a,b$ を $L$ で割った $(a/L,\,b/L)$ の距離を使う。

§5-3 のとおり $a/L$ と $b/L$ は明るさに依らないので、$C_h$ は色度だけで決まる（明るさ $Y$ を 0.001〜3 に変えても、値の差は $1.7\times10^{-15}$ である）。なお、混同色線は式 (22) の錐体の方向で決め、Oklab は距離を測るものさしとしてだけ使う。

A と Ch の違いは、距離を測るものさしだけである。どちらの座標も、§6-7 の式 (30) で $P$ 相当に変換してから、式 (29) のゾーンと比べる。

6-6. 色度図の上の境目

3 方式が、色度図の上でゾーンの境目をどこに引くかを並べる。

• 色度角度方式（左）: 扇の中心から放射状に伸びる直線。
• 色の見え差分方式（中）: ほぼ平行な曲線。ゾーンは、赤から緑へ縦の帯が移るように動く。
• 色度差分方式（右）: 色域の中では扇に近い曲線。青の近くで線が横へ折れる。

同じスライダーの値でも、方式によって指す色が違う。図 9（§11）で、同じ値で方式だけを替えた結果を見られる。

6-7. ゾーンとスライダーの値

スライダーの値 $s$ と軸 $P$ の関係は 2.21 のまま、$s=1-P$（左端 $0$ が緑の原色、右端 $1$ が赤の原色。3 型は左が青、右が緑）である。ゾーンは、開始 $a_Z$（スライダーの値）と幅 $w$ から、

で、色の $P$ がこの範囲に入るときゾーンの内とする。「反転」が入のときは、内と外を入れ替える。$w=0$ は、ゾーンの切（何も変えない）である。

色度角度方式では、式 (25) の $P$ をそのまま使う。A・Ch の座標 $x$（式 (27)(28)）は、表示の原色そのもの（最大の明るさ）を基準に、$P$ へ線形に変換する。

$a,b$ は、赤・緑の原色（3 型は緑・青の原色）の座標 $x_{\mathrm{lo}},x_{\mathrm{hi}}$ が $P=0,\,1$ になるように、$b=\dfrac{1}{x_{\mathrm{hi}}-x_{\mathrm{lo}}}$、$a=-x_{\mathrm{lo}}\,b$ と決める。白は平面の上にあるので $x=0$ で、白の位置は $P_w=a$ になる。1 型・2 型は、sRGB と Display P3 で式 (24) の $\mathbf{n}/(\mathbf{n}\cdot\mathbf{e})$ が同じで、判定の式は色空間を切り替えても変わらない（変わるのは $a,b$ だけ）。3 型は、平面が赤の原色を通るので、色空間で値が違う。値は次のとおりである。

色度角度方式の白の位置は、式 (25) の $P_w$（§6-3 の表）である。色域の中の $P$ は、ほぼ $0$〜$1$ に収まる（Ch は端が原色に一致するので $0$〜$1$ のちょうど。A は 2 型で $-0.013$〜$1.001$）。範囲の外は、切らずにそのまま式 (29) と比べる。

• 赤・緑・青の原色の位置は 3 方式で一致するので、スライダーの両端は同じ意味になる。
• 保存された値（ゾーンの開始・幅）は、方式を切り替えると、同じ値で別の色の範囲を指す。
• A の対応は、原色（最大の明るさ）での値なので、暗い色では対応がずれる（A が明るさに依るため）。Ch はずれない。

座標の均等さ。1 型・sRGB で、混同色線に沿って色を動かしたとき、座標の 1 単位あたりの Oklab 距離を、白を 1 として並べた比（7 色: 白・灰・肌・黄・青緑・青・暗い赤）は、最大÷最小が P で 4.2、Ch で 2.7、A で 4.8 だった。Ch は、青の幅を抑える（青の値は P 2.35、Ch 0.53、A 1.18）。測った色は 7 色、1 型だけである。

7. 色の変え方（色を見分ける・色を見つける共通）

ゾーン（または探す色の円）に入った色は、CIELUV の空間で動かし、色度図の上で色域の三角形に収め、表示の色域に切って戻す。

7-1. 混同色線の方向 $\mathbf{n}_{\mathrm{L}}$（CIELUV）

変える方向は、その人が区別しにくい違いとは別の方向に取る。まず、その色の混同色線の CIELUV の中での方向を求める。色 $\mathbf{q}$（LMS）の型に対応する錐体の成分を $0$ にした色 $\mathbf{q}_0$ と、$\mathbf{q}$ の CIELUV（式 (16)〜(19)。LMS は式 (12) で XYZ に戻す）の差を、正規化する。

符号 $\sigma$ は、2.21 と同じである。白（$\mathbf{q}=(1,1,1)$）での値は、1 型 $(0.0234,\,0.9974,\,-0.0680)$、2 型 $(-0.0754,\,0.9439,\,-0.3215)$、3 型 $(0.0115,\,0.0293,\,-0.9995)$ である（2.21 の錐体では $(0.0293,\,0.9992,\,-0.0262)$・$(-0.0643,\,0.9586,\,-0.2773)$・$(0,\,0.1154,\,-0.9933)$ だった）。差が $0$ に近い（$<10^{-12}$）ときは $(1,0,0)$ とする。

7-2. 回転

$L^*$ 軸 $(1,0,0)$ を $\mathbf{n}_{\mathrm{L}}=(n_1,n_2,n_3)$ に写す回転を、$\rho=\sqrt{n_2^2+n_3^2}$、$c=n_3/\rho$、$t=n_2/\rho$、$\varsigma=\sqrt{1-n_1^2}$ として、次の行列で与える（行ベクトルに右から掛ける: $\mathbf{v}\mapsto\mathbf{v}R$）。

$\rho<10^{-12}$ のときは、$c=1$、$t=0$ とする（2.21 はこのとき 0 で割って値が不定になる）。

7-3. 通常法: 混同色線に垂直な面の円

変化のベクトル（CIELUV）は、次の式で与える。

変えた色は $(L^*,u^*,v^*)+\Delta$ である。$(0,\cos\theta,\sin\theta)$ は $L^*$ 軸に垂直な円で、$R$ で $\mathbf{n}_{\mathrm{L}}$ に垂直な面へ回すので、$\Delta$ は $\mathbf{n}_{\mathrm{L}}$ と直交する。混同色線に沿った成分は変わらず、その人が区別できる差だけが増える。

• 半径 $=f\cdot100$: 変化の大きさ $f$（2 次元スライダーの中心からの距離、$0$〜$0.5$）。2.21 の定数 $100$ のまま。
• 角度 $\theta$: 色の回転 $\mathrm{age}$（2 次元スライダーの角度。真上が $0$、時計回りに 1 周）。
• $g$: 緑側の反転（§7-4）。$g=0$ または $1$。

2 次元スライダー（円形）は、中心からの距離が変化の大きさ $f$、角度が色の回転 $\mathrm{age}$ を決める。同じ位置でも、元の色によって変化の仕方が違う。

7-4. 緑側の $\pi$ ずらしと無彩色の帯

緑側の反転。「赤緑反転」が入のとき、白の位置 $P_w$ より緑側（$P>P_w$）の色は $g=1$ にして、式 (33) の角度を $\pi$ ずらす。赤側の色と緑側の色が反対の向きへ動き、変えた後も赤側と緑側の区別がつく。ブーストでは、輪を 2 節ずらして使う（§7-5）。$P_w$ は、方式ごとの白の位置（§6-3、§6-7）である。

無彩色の帯。白に近い色（灰色・白い背景）は、色味を持たないので変えたくない。「無彩色を残す」が入のとき、$P$ が白の位置の両側 $P_w\pm0.05$ の中にある色は、ゾーンに入っていても変化を $0$ にする（2.21 の帯の幅 $0.1$ の半分）。

$\pm0.05$ の見た目の幅は方式で違う（A・Ch は P より青・赤の側が広い）。

7-5. ブースト法

ブーストが入のとき（色を見分けるだけ）、式 (33) の円の代わりに、輪の上の目標の色へ近づける。輪は 4 つの節（白 → 575 nm の黄 → 黒 → 475 nm の青。3 型は 660 nm の赤・485 nm の青緑）を順に結ぶ。節は $u'v'Y$（式 (16)）で与え、錨刺激の XYZ は、CIE 1964 10° の等色関数（JIS Z 8701 付表 2 [9]）の値 $(\bar x_{10},\bar y_{10},\bar z_{10})$ を用いる。

節の CIELUV（式 (18)(19)）は、1 型・2 型で、白 $(100,\,0,\,0)$、575 nm $(96.62,\,77.08,\,116.57)$、黒 $(0,\,0,\,0)$、475 nm $(54.02,\,-81.94,\,-115.75)$、3 型で、白 $(100,\,0,\,0)$、660 nm $(29.49,\,145.52,\,17.28)$、黒 $(0,\,0,\,0)$、485 nm $(61.46,\,-136.92,\,-29.84)$ である。2.21 は黒の節に $L^*=-16$ を使っていた。

節を $\mathbf{r}_0,\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3$（CIELUV）とし、$\mathrm{age}$ を 4 倍した値 $4\,\mathrm{age}$ の整数部 $k$（$0\le k\le3$）が節、小数部 $\phi$ が節の間の位置とする。目標の色 $\mathbf{t}$ と変えた色は、

である（$\mathrm{Luv}$ は元の色の CIELUV）。変化の大きさ $f=0.5$ で目標に着く。2 次元スライダーの上限が $0.5$ なので、目標を通り過ぎることはない（$0.5$ を超えると外挿するが、画面からは来ない）。緑側（$g=1$）は、輪を 2 節ずらして使う。

7-6. 色域への収め

変えた色の CIELUV を $u'v'Y$（式 (19) の逆）に戻し、色度 $\mathbf{u}_1=(u',v')$ が表示の色域の三角形（§5-4）から外れるときは、元の色の色度 $\mathbf{u}_0$ から $\mathbf{u}_1$ へ向かう線分が、三角形の境界に達する点で止める。三角形の辺 $i$（頂点 $\mathbf{a}_i$・$\mathbf{a}_{i+1}$）について、内側を正とする符号つき距離を

とする（$\varpi=\pm1$ は、三角形の向き）。$f_0=\max(d_i(\mathbf{u}_0),0)$、$f_1=d_i(\mathbf{u}_1)$ として、$f_1<0$ となる辺のうち、$t_i=f_0/(f_0-f_1)$ が最小のものを採り（外れる辺が無ければ $t=1$）、

を変えた色の色度と明るさとする。2.21 は、元の色が辺の上（飽和した色）にあるとき、辺との交差の判定（符号の積）が丸めで決まり、単精度と倍精度で答えが割れた。この式は、元の色の距離を $0$ 以上に切ってから $t$ を求めるので、精度に依らず同じ答えを与える（一般の色では 2.21 と同じ）。

その後、変えた色の XYZ（式 (17)）から表示の線形 RGB（式 (6)(8)）を求め、成分ごとに $0$〜$1$ に制限して、符号化する（式 (2)）。

色相を保つ収め方（色度を保って明るさを落とす）は採っていない（色のシミュレータの強度の混合と同じ、成分ごとの制限である）。

8. 色を見つける

色を見つけるは、探す色に近い色だけを変える。見分けにくい色の中から、特定の色（たとえば熟した赤い実）を探したいときに使う。ゾーンの軸 $P$ は使わず、色度図 $u'v'$ の上の距離で決める。

8-1. 探す色

探す色は、次のどちらかで決まる。

• 画像の上をタップして、カーソルを置く。カーソルの下の色（周りの画素をなだらかに平均した色）が探す色になる。
• 基本 11 色の帯（N・R・YR・Y・GY・G・BG・B・PB・P・RP のマンセルの記号の色）から選ぶ。カーソルがその色票の真ん中へ移り、その色が探す色になる。

探す色（取り込みの符号化値 $\mathbf{c}_s$）は、式 (1)・(5) または (7)・(16) で、色度 $\mathbf{s}=(u'_s,v'_s)$ にする。明るさは見ないので、同じ色味の明るい所も暗い所も同じに探せる。

8-2. 範囲と変え方

画素の色度 $(u',v')$ が、探す色の色度から近いとき、その画素を変える。

$w_S$ は範囲のスライダー（半径の設定。$0.5$ を中心に左右対称で、距離だけが変わる）の値で、$0$〜$1$。幅 $1$ のとき、$u'v'$ の距離 $0.1$（2.21 と同じ値）までの色が入る。式 (39) を満たす画素は、§7-3 の通常法（式 (33)）で、変化の大きさ $f$（2 次元スライダーの距離）と色の回転 $\mathrm{age}$（同じ角度）に従って変える。満たさない画素は変えない。

• 探索では、緑側の $\pi$ ずらし（§7-4）、無彩色の帯（§7-4）、ブースト（§7-5）は使わない（2.21 と同じ。ブーストは色を見分けるだけ）。
• 範囲の円は色度図の上の円なので、探す色が白に近いと、白に近い無彩色や薄い色が円に入る。

9. シミュレーションと色名の表示

シミュレーションは、色の見分けにくい人（1 型・2 型・3 型）に画像がどう見えるかを、色のシミュレータ 4.0 と同じ方法で模擬する。式・定数は同じで、色のシミュレータ 4.0 の理論の頁の §5 に、半平面の係数（式 (17)〜(20)）、境界の連続、強度による混合（Oklab での補間）、色域の制限が書いてある。要点を述べる。

• 画素の色を LMS 空間に写し、型に対応する錐体の成分を、2 枚の半平面（Brettel らの折れ平面 [1]）の上へ射影する（1 型・2 型は 475 nm・575 nm、3 型は 485 nm・660 nm の錨刺激）。
• 強度 $k$（$0$〜$1$）で、元の色との間を、Oklab 上で $\mathbf{o}_k=(1-k)\,\mathbf{o}(\mathbf{q})+k\,\mathbf{o}(\mathbf{q}_s)$ と補間する（両端は、先に表示の色域に制限する）。これは、もっとも強度の 2 色覚と元の画像の中間の画像を表示するだけであり、異常 3 色覚（弱度の色覚異常）の色の見え方をシミュレーションするものではない。
• 表示の色域に収めて、符号化する。

色のめがねでは、模擬は変更の後に行う。「目」のボタンを入にすると、色を見分ける・色を見つけるで変えた色に、模擬を重ねる。変えた色が、その人にどう見えるかを確かめられる。色を変えない状態の模擬は、シミュレーションの機能の画面で行う。

色名の表示（カーソルの下の色の名前）も、色のシミュレータ 4.0 と同じ仕組みである。カーソルの周りの色を平均し、Munsell 値・系統色名・慣用色名を辞書から引く。詳しくは、色のシミュレータ 4.0 の理論の頁の §7 を参照されたい。

10. 全体の変換

符号化された入力 $\mathbf{c}_{\mathrm{in}}$ から符号化された出力 $\mathbf{c}_{\mathrm{out}}$ への変換は、§2〜§9 の合成として次のように書ける。ゾーンまたは探す色の判定で選ばれた画素だけに、CIELUV での変更が入る。

ここで $\mathcal{D}$ は復号（式 (1)）、$\mathcal{E}$ は符号化（式 (2)）、$M_{\mathrm{in}}$・$M_{\mathrm{out}}$ は入力・表示の RGB → XYZ の行列（式 (5)(7)）である。$\mathcal{T}$ は XYZ の上の変更で、判定（§6 または §8）、CIELUV での変更（§7-3 または §7-5）、色域の三角形への収め（§7-6）、シミュレーション（§9。入のとき）からなる。変更を行わない画素は、$\mathcal{T}$ が恒等写像となり、元の色に戻る。

11. サンプル画像

被写体はミニトマト（サイトの元の画像）。すべて 2 型で、図の式と同じ式（アプリの参照実装の写し）で作った。

参考文献

[1] H. Brettel, F. Viénot, and J. D. Mollon, "Computerized simulation of color appearance for dichromats", Journal of the Optical Society of America A, vol. 14, no. 10, pp. 2647–2655, 1997. doi:10.1364/JOSAA.14.002647

[2] K. Asada, "Chromatic Vision Simulator", README of the Android source code (appendix: mathematical expressions for color vision simulation), GitHub repository asada0/ChromaticVisionSimulator, 2018, MIT License.

[3] IEC 61966-2-1:1999, Multimedia systems and equipment — Colour measurement and management — Part 2-1: Colour management — Default RGB colour space — sRGB, International Electrotechnical Commission; and Amendment 1:2003.

[4] SMPTE EG 432-1:2010, Digital Source Processing — Color Processing for D-Cinema, Society of Motion Picture and Television Engineers, 2010. doi:10.5594/SMPTE.EG432-1.2010

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[11] M. D. Fairchild, Color Appearance Models, 3rd ed., John Wiley & Sons, 2013. doi:10.1002/9781118653128

[12] C. Poynton, Digital Video and HD: Algorithms and Interfaces, 2nd ed., Morgan Kaufmann, 2012.

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[14] B. Ottosson, "A perceptual color space for image processing", blog post, 23 December 2020, https://bottosson.github.io/posts/oklab/

[15] F. Viénot, H. Brettel, and J. D. Mollon, "Digital video colourmaps for checking the legibility of displays by dichromats", Color Research & Application, vol. 24, no. 4, pp. 243–252, 1999.