眼の年齢シミュレータ

眼の年齢シミュレータの理論

1. 概要

本稿は、眼の年齢シミュレータが画像に反映する「加齢と白内障による見え方」を、光学の式で定式化し、使用する数値の出典を示します。眼の中で光に起こる 3 つの変化（水晶体による吸収、散乱、濁りによる遮り）、瞳孔径、画面が表示できない強い光の扱いを、順に説明します。

画面は 3 つの区画を並べて表示できます。

数値には、論文や規格で確かめたものと、文献が見つからず目安として定めたものがあります。両者は §14 のパラメーターの表で、1 つずつ区別して示します。本アプリは、診断、治療、視力検査には使用できません（§13）。

要点: 画面の画像を見る人の眼の網膜像を、対象の眼が実際の景色から作る網膜像に近づけるための計算を、式として定義します。

1-1. 前提

本稿全体に次の前提を置きます。

1. 1. 画像: 8 ビットの sRGB 画像を、伝達関数 [10] で線形の光に変換します。白を $1$ とします。HDR 画像（Ultra HDR など）は、基の SDR の絵とゲインマップから HDR の線形の光を復元して使用します（§3）。

1. 2. 見る人の眼: 画面の画像は、見る人の眼を通して網膜に届きます。見る人の眼を基準の眼とし、既定では 20 歳の若い正常眼と仮定します（§2）。

1. 3. 色と波長: 色は、錐体の信号（LMS）と Oklab で扱います（§4、§10）。点像分布関数のコアは、R・G・B の 3 つの代表の波長（$610$、$550$、$465$ nm。sRGB の原色の主波長（2° 観測者）との差は最大 $1.4$ nm）で計算します（§7）。

1. 4. 瞳孔: 両眼で順応した視野の明るさから決めます（§5）。

1. 5. 白内障: 核・皮質・後嚢下の 3 つの型と、進み具合 $0$〜$100\%$ で表します。濁りの形と大きさは、臨床の分類（LOCS III など）に当てはめた値ではなく、分類の定義を参照して定めた目安です（§7、§11）。

1. 6. 場面の明るさ: サンプル画像の「白の輝度」（画像の白 $1$ が何 cd/m² に当たるか）は、場面ごとに定めた値です。HDR 画像は元の露出に依存し、絶対輝度を持ちません。街灯のある夜の場面は、画像の輝度の中央値を、道路照明の等級の路面の平均輝度に合わせて決めます（§3-3）。

1. 7. 矯正した状態: 眼鏡で矯正できる屈折のぼけ（近視化）は、一般の設定では含めません。矯正した状態での白内障の見え方を扱います（§12）。

1. 8. 出力しないもの: 視力、コントラスト感度、視野は出力しません。

1-2. 記法

要点: 以降の式は、光を線形の光（白 $=1$）で、角度を度で、長さを mm で表します。

1-3. 処理の流れ

画像 ──(§3)──▶ 線形の光 L（白 = 1。HDR は復元）
   画像の平均の明るさ ──(§5)──▶ 瞳孔径 D
   D・年齢・濁り ──(§7)──▶ コアの PSF（回折・濁り）と、広い散乱の重み（§6・§8）
L ∗ （コア + 広い散乱の増加分）  +  白を超える光の散乱（§2-5）
   ──(§4・§10)──▶ LMS で、錐体ごとの透過率の比（黄ばみ・色順応）を反映
   ──(§10)──▶ Oklab でトーンマッピング（色相を保つ）──▶ 表示の色空間に戻し、符号化して表示

1-4. 眼の構造と、パラメーターが対応する部位

眼軸（角膜の頂点から網膜の内面まで）は約 $24$ mm です。内訳は、角膜と前房が約 $3.6$ mm、水晶体が約 $4.5$ mm（50〜60 歳の目安。20 歳で約 $3.6$ mm、70 歳で約 $4.8$ mm）、硝子体腔が約 $16$ mm です [13][14]。瞳孔は水晶体の前面のすぐ前にあり、本稿はこの面を瞳の面と呼びます。水晶体の核は水晶体の中心部、皮質は核を包む外側の層、後嚢は水晶体の後面を包む薄い膜です。

要点: 本アプリのパラメーターは、水晶体（核・皮質・後嚢）、瞳孔、網膜の 3 つの部位に、ほぼ対応します。

1-5. 光の円錐と、濁りの位置

景色の 1 点から射出した光は、瞳孔の全面から入り、水晶体で屈折して網膜の 1 点に集まります。この光束を、本稿は光の円錐と呼びます。円錐の断面の直径は、瞳の面で瞳孔径 $D$ に等しく、網膜に近づくにつれて小さくなります。瞳の面から距離 $d$ の面での直径は、近似的に次式で表されます。

$f_r$ は、瞳の面から網膜までの距離です。

水晶体の後ろの中心にある後嚢下の濁りは、どの円錐の断面とも重なります。景色のどの点の光も、一部が濁りに遮られ、遮られた光は散乱に回ります。そのため、画像の全体が霞みます。網膜に近い濁りでは、円錐の断面が小さいので、濁りに遮られる点の光だけが欠けます。後嚢下白内障が全体の霞を生じ、網膜の近くの混濁が部分的な欠けを生じる違いは、この幾何から説明されます。核の濁りは水晶体の全体にあり、どの円錐も通過するので、全体に一様に作用します。

要点: 濁りが画像全体に作用するか、一部だけに作用するかは、濁りの奥行き（網膜からの距離）で決まります。

1-6. 白内障の 3 つの型

核白内障は、水晶体の中心の核の黄褐色の濁りと着色です。皮質白内障は、皮質に生じる、すじ（spoke）状の濁りです [15]。本アプリは、これを周辺から中心へ伸びる楔（くさび）として表します（§7-3）。後嚢下白内障は、水晶体の後極で後嚢の直下に生じる板状の濁りです [15]。

要点: 3 つの型は、水晶体の中の位置と形が異なるので、画像への作用が異なります。

2. 基準の眼に対する増加分の反映

この節は、画面の画像をどのように作成すれば、見る人の網膜像が、対象の眼の網膜像に近づくかを定式化します。

2-1. 目的と基準の眼

画面の画像は、見る人の眼を通って網膜に届きます。見る人の眼は、すでに回折、波長による焦点の違い、散乱、水晶体の吸収を、画像に作用させています。対象の眼（指定年齢の正常眼、または白内障眼）の光学を、画像に重ねて計算すると、見る人の眼の分が二重になり、画像は元より劣化します。

そこで、見る人の眼を基準の眼とし、20 歳の若い正常眼と仮定します。画像には、対象の眼が基準の眼より増加する分だけを反映します。

2-2. 網膜像の定式化

景色の線形の光を $L$、画面が表示する光を $X$ とします。対象の眼の PSF を $K_A$、水晶体の透過率を $T_A$、基準の眼の PSF を $K_0$、透過率を $T_0$ とすると、網膜像は次のように表されます。

求める $X$ は、$I_V\approx I_A$ を満たす画像です。

PSF は、鋭いコア $K_{\mathrm{core}}$ と、広い散乱の分布 $S$ の和として表します。

水晶体の透過率の比を、次のように定義します（§4）。

2-3. 増加分の反映

基準の眼のコアが、画素より十分に小さいと仮定すると（§2-4）、$K_0 \ast X \approx X + S_0 \ast X$ です。そのとき、次の $X$ が $I_V\approx I_A$ を与えます。

ここで、$S_A - S_0$ は、広い散乱の増加分です。散乱は光の加算なので、増加分を加えることで表現できます。吸収は乗算的な作用なので、透過率の比 $\rho$ で表現します。式 (5) を (2) に代入し、$S_0 \ast (K_{\mathrm{core},A}\ast L)\approx S_0\ast L$ と近似すると、$I_V \approx T_A\,[K_{\mathrm{core},A}\ast L + S_A\ast L] = I_A$ になります。無視した項は、散乱どうしの積のような 2 次の項です。

2-4. 回折と収差（コア）の扱い

回折や収差のような像のぼけは、散乱と異なり、増加分だけを取り出す計算（逆畳み込み）ができません。そこで、コア $K_{\mathrm{core},A}$ は、対象の眼の値で再現します。見る人の眼のコアも作用するので、回折は重複しますが、その大きさは通常の表示では画素より小さくなります。エアリー円盤の半値幅は、波長 $\lambda$、瞳孔径 $D$ に対して、次式で表されます。

$D=3$ mm、$\lambda=550$ nm で約 $0.65$ 分角（$D=2.5$ mm で約 $0.8$ 分角）です。画素の角度（視野角 ÷ 画素数）が約 $1$ 分角より大きい場合（視野角 $50^\circ$、幅 $1000$ 画素で約 $3$ 分角）は、重複の影響はほとんど現れません。画素の角度が約 $1$ 分角以下の場合（同じ視野角で画素数が約 $4$ 倍以上の場合）に限り、見る人の眼の分だけ像が軟らかくなります。

2-5. 白を超える光

画面は、白（SDR の $1.0$）より明るい光を表示できません。ヘッドライト、街灯、太陽のような強い光は、その光が見る人の眼で散乱する分が、表示された画像に含まれません。式 (5) は、景色の光が画面で表示できる範囲に収まる場合の式です。

白を超える成分を、線形 RGB のチャンネル $c$ ごとに $E_c=\max(L_c-1,\,0)$ とすると、$E$ については、基準の眼の散乱 $S_0$ も含めて再現します。画面が表示できないのは各チャンネルの $1$ を超える分なので、チャンネルごとに判定します（赤い尾灯のように、輝度は $1$ 未満でも R が $1$ を超える光を取りこぼしません）。

第 3 項は、見る人の眼が表示できなかった光に作用できない散乱を、補う項です。補う光は、各チャンネルで画面が表示できなかった分そのもの（ゲインマップで復元した RGB の、$1$ を超えた分）です。この項により、$E$ に対する散乱は、$(S_A - S_0) + S_0 = S_A$ になります。白を超える分は画面では白に潰れて表示されるので、補った散乱は二重にはなりません。

2-6. 見る人が基準の眼と異なる場合

見る人が年配のとき、見る人の眼は基準の眼（$20$ 歳）と異なり、$K_0$ と $T_0$ が基準と違うので、近似は外れます。見る人の年齢 $V$ を指定すると、$S_0$ と $T_0$ を年齢 $V$ の値に替えて計算します。$V$ が対象の年齢 $A$ より高い場合は、増加分が負になります。散乱の増加分は $0$ を下限とし、黄ばみは透過率の比が $1$ を超えて、青を強める方向に戻ります。見る人が実際は $50$ 歳で、$V$ を既定の $20$ 歳のまま、指定年齢を $65$ 歳とした例では、見る人の眼に届く迷光パラメーター $s$ は $12.6+(17.4-10.07)\approx 20$ deg²/sr で、目標の $17.4$ より約 $15\%$ 多くなります（式 (32) による）。$V=50$ と指定すれば、目標と一致します。

要点: 画像には、対象の眼が基準の眼より増加する分だけを反映します。散乱は増加分を加え、吸収は透過率の比で表し、回折・収差は対象の眼の値で再現します。白を超える光は、基準の眼の散乱も含めて再現します。

3. 画像の符号化と HDR の復元

この節は、画像の符号化値から線形の光を得る式と、HDR の光を復元する式を示します。

3-1. 伝達関数と輝度

8 ビットの符号化値 $V_c$（$0\le V_c\le 1$。画素値 $\div 255$）から線形の光 $x$ への変換は、sRGB の伝達関数 [10][16] を用います。

表示のための逆変換は、次式です。

輝度 $Y$ は、線形 RGB の線形結合です。sRGB では ITU-R BT.709 [17] の係数で、一般には取り込みの色空間の行列の第 2 行です（§10-1）。

3-2. ゲインマップによる HDR の復元

Ultra HDR の JPEG は、先頭の JPEG が SDR の絵（基の絵）で、2 枚目の JPEG（MPF で指定）がゲインマップです。ゲインマップの値 $gm$（$0$〜$1$）から、$\log_2$ のゲイン $g$ が決まります [8]。

HDR の線形の光は、基の SDR の線形の値 $L_{\mathrm{SDR}}$ から、次式で復元します（RGB の各チャンネル、白 $=1$ の倍数）。

$g_{\min}$、$g_{\max}$ は $\log_2$ のゲインの最小値と最大値、$\gamma$ はガンマ、$\varepsilon$ はオフセットです。これらは、XMP の hdrgm か、ISO 21496-1 [9] のバイナリから読みます。仕様書の式は、画面の表示能力に応じた重み $w\in[0,1]$ を、$2^{g w}$ として含みます [8]。本アプリは、景色の光を復元することが目的なので、$w=1$ とします。ゲインマップを持たない写真は、$g=0$（SDR のまま）で扱います。

サンプルは、RGB の 3 チャンネルのゲインマップ（8 ビット、基の絵と同じ大きさ、$\varepsilon=1/512$）で作成します（サンプルの元画像は [11]。$\varepsilon$ は、Android の仕様書の既定値 $1/64$ [8] と異なる本アプリの選択です）。基の絵は、最大チャンネルが膝を超えた分を白へ寄せた SDR です。

3-3. 光の本当の強さが必要な理由

眼の中の迷光は、光源の輝度と立体角の積（眼に入る照度 $E_0$）に比例します。角度 $\theta$ だけ離れた位置の霞の輝度は、CIE の式（§6）から、次のように表されます。

$s$ は §6 の迷光パラメーターで、角度に依らない定数です。霞は、光源の面積と輝度の積で決まり、光源の見かけの形には依存しません。

SDR の画像は、白（$1.0$）で打ち切られ、白い紙もヘッドライトも太陽も同じ $1.0$ になるので、$E_0$ を画像から知ることはできません。夜道のヘッドライトのサンプルでは、灯の円盤の輝度は白の約 $120$ 倍（光度 $800$ cd、距離約 $32$ m、目の位置の照度約 $0.78$ lx）です。この光を SDR の $1.0$ にすると、$E_0$ が約 $1/120$ になり、霞も約 $1/120$ に過小になります。夜の街灯のサンプルでは、最も明るい位置（99.95% 点）が、白の数十倍〜数百倍です。ゲインマップは、この光の強さを復元し、式 (7) の $E$ に用います。

画像の絶対値（白の輝度 $L_W$）は、街灯のある夜の場面では、画像の輝度の中央値を、道路照明の等級の路面の平均輝度に合わせて決めます。等級と平均照度は EN 13201-2:2015 [48] の P 等級（CIE 115:2010 [47] の等級に合わせた物）で、P2 $10$ lx、P3 $7.5$ lx、P4 $5$ lx、P5 $3$ lx です。照度 $E_{\mathrm{road}}$ から路面の輝度へは、CIE 144:2001 [49] の標準の路面 R3 の平均輝度係数 $q_0=0.07$ cd/m²/lx を用います。

$t$ は、白 $=1$ の画像での輝度の中央値（夜の場面で $0.04$〜$0.05$）です。サンプルの白の輝度は、夜の石畳の道（P3）$13.13$、夜の広場（P2）$17.5$、夜の街（P2）$17.5$、夜の路地（P4）$7$、夜の公園（P5）$5.25$、雪の夜（P5）$4.2$ cd/m² です。灯の無い場面（月夜）、夕暮れ、前照灯の写真（灯は光度と距離から合成）は、この決め方の対象外です。式 (13) は $E_0$ について線形なので、霞の広がりは「灯 ÷ 路面」の比で決まり、画像の絶対値を一律に変えても変わりません。絶対値が変えるのは、瞳孔径（§5）と順応度 $D_{LM}$（§4-3）です。

3-4. 入力画像の種類

• Ultra HDR の JPEG（XMP の hdrgm）、ISO 21496-1 の JPEG: 式 (11)、(12) で復元します。
• Apple 独自形式の JPEG（MPF の 2 枚目と MakerNote のヘッドルーム）: 読み取りの処理はありますが、実物の写真での確認は済んでいません。
• HEIC: 直接は読み取りません。新しい iPhone の HDR 写真は、Safari が HEIC を JPEG に変換する際に ISO 21496-1 のゲインマップが残り、上の経路で読み取れます。

要点: SDR の絵とゲインマップから、光の本当の強さを復元することで、白を超える光に対する散乱を再現できます。

4. 水晶体の透過と色順応

この節は、水晶体の吸収を、分光の光学密度と、年齢および白内障の関数として表し、錐体ごとの透過率の比と、色順応（von Kries 型）を定義します。

4-1. 水晶体の光学密度

水晶体の光の通り方を、波長 $\lambda$ の光学密度 $\mathrm{OD}(\lambda)$（透過率の常用対数の符号を反転した量）で表します。CIE 170-1:2006 [45] は、水晶体と眼の媒質の密度を、年齢で増える成分 $D_1(\lambda)$ と、年齢によらない成分 $D_2(\lambda)$ の和で表します（32 歳の標準、小窓。式と表は [35]）。年齢 $A$ の正常な水晶体の密度は、次のとおりです。

$450$ nm の値は、$D_1(450)=0.258$、$D_2(450)=0.004$ で、20 歳で $0.20$、65 歳で $0.49$ です。$D_2$ は $420$ nm より短い波長で大きく（$400$ nm で $D_1=0.66$、$D_2=1.10$）、年齢で変わりません。$400$ nm の密度の年齢による増加は、$60$ 歳までが 10 年に $0.13$、$60$ 歳を超えると 10 年に $0.44$ で、Pokorny ら [12] の $0.12$、$0.40$ に近い値です。$D_1+D_2$ は、Stockman・Sharpe・Fach の 32 歳の表 [46] と、$400$ nm 以上で一致します。

白内障（核）の増分は、年齢で増える成分 $D_1$ と同じ分光形とします。Delahunt ら [4] は、白内障の水晶体の密度を、加齢の成分の分光形（Pokorny らの $L_1$）で表して測定値に合わせています。

$\Delta_{\mathrm{cat}}$ は $450$ nm の増分で、初期 $+0.07$、中期 $+0.13$、進行 $+0.26$ とします（§14-2 の表）。中期は、Delahunt ら [4] が測定した白内障（等級 2〜3+）の水晶体が光の強さを約 $40\%$ 減らすという値に、70 歳の眼で合うように定めました（輝度の透過率が $60\%$ になる値が $0.129$）。初期と進行は、中期の約 $1/2$ 倍と $2$ 倍です（本アプリの仮定）。

4-2. 加齢と白内障の分と、錐体ごとの透過率の比

対象の眼と基準の眼（年齢 $V$）の光学密度の差は、加齢の分（年齢の係数の差 $u$ を $D_1$ に乗算した値。$D_2$ は打ち消し合う）と、白内障の分の和です。

$\rho(\lambda)$ は、波長ごとの透過率の比（式 (4)）です。画像の色は、錐体の信号 LMS（§10）で扱うので、透過率の比を、錐体ごとの値 $\rho_k$（$k=L,M,S$）に換算します。錐体 $k$ の分光感度 $s_k(\lambda)$ は、錐体の行列 $M_{XYZ\to LMS}$（錐体の構成 S4 [41]。§10-1）を、CIE 1964 10° の等色関数 $\bar c_j(\lambda)$ に作用させた値です。表示の白は D65 と等価なので、標準の光 D65 の分光分布 $E_{65}(\lambda)$ で重み付けします。

積分は、$380$〜$780$ nm を $5$ nm 刻みの和で行います。錐体の信号は、水晶体を通した後、$\mathrm{LMS}'_k=\rho_k\,\mathrm{LMS}_k$ となります。この近似は、狭帯域の光では厳密で、広帯域の光では、錐体の応答の重みがスペクトルによって変わる分の誤差を持ちます。

4-3. 色順応（von Kries）と、その限界

黄ばんだ水晶体を通すと、青い光が減り、全体が黄みを帯びます。長期間の白内障では、脳がこの偏りに順応し、黄みに気づきにくくなります。ただし、順応には限界があります。Delahunt ら [4] は、白内障の手術で黄ばんだ水晶体を除去した 4 人（$63$〜$84$ 歳）の「無彩色に見える色」を、術前から最長 1 年測定しました。術後に無彩色の設定は一度大きく黄の方向へ移動し、約 3 か月の間に大きく戻りましたが（戻った割合の数値は書かれていません）、完全には戻りませんでした。残った偏りは黄（S 錐体の軸）の方向で、著者は、短い波長の光が少ないときに全部が補償されることは考えにくいと述べています。加齢の通常の黄ばみは、よく補償されますが、密度が最も高い水晶体では不完全です（Kraft・Werner [7]）。

この順応を、錐体ごとの利得を変える von Kries 型の変換で表し、順応の度合いを、L・M 錐体と S 錐体で別に定めます。白の輝度に対する水晶体の透過率の比を $\rho_Y$ とします。

L・M 錐体の順応度 $D_{LM}$ は、CIECAM02 の順応度の式 [44] を用います。$L_A$ は順応の場の輝度（cd/m²）で、画像の白の輝度 $L_W$ の $1/5$ とし、周囲は平均的（$F=1$）とします。

$D_{LM}$ は、夜の街（$L_W=20$）で $0.83$、屋内（$200$）で $0.89$、昼の屋外（$3000$）で $1.00$ です。S 錐体の順応度 $D_S=0.5$ は、Delahunt らと Kraft・Werner の「補償は不完全」という結果に基づく仮定で、数値の文献はありません（§14）。$D_k=0$ は順応する前の状態、$D_k=1$ は完全な順応です。

4-4. 明るさへの順応

水晶体の吸収は、網膜の照度を低下させますが、視覚系は明るさの低下にも部分的に順応します。本アプリは、色順応を反映した透過率の比の輝度 $Y_{\rho}$ に対して、次の補正係数 $b$ を乗算します。

$\gamma_b=1$ は完全な補正、$0$ は補正なしを意味します。$b$ は全成分に同じ倍率なので、色度と色相は変えません。

4-5. 水晶体を反映する 3×3 行列

水晶体、色順応、明るさの補正を反映する変換は、錐体の信号の対角行列と、入口・出口の行列（§10。式 (50)）で、線形 RGB の 3×3 行列にまとめられます。

白 $(1,1,1)$ は $M_{\mathrm{lens}}(1,1,1)^{\mathsf T}$ に移ります（$b$ は式 (25) の対角に 1 回だけ含まれます）。65 歳の正常眼（基準 20 歳、$L_W=200$）では $(0.909,\ 0.906,\ 0.678)$ です。白（D65）の見え方は、次のとおりです（Oklab の色相と彩度。トーンマッピングの前の値）。

順応すると、黄の方向（色相 $106^\circ$ 前後）の偏りが残ります。順応しないと、黄橙（色相 $76$〜$80^\circ$）に偏ります。

要点: 水晶体の吸収は、加齢の分（CIE 170-1 の 2 成分のうち、年齢で増える成分）と白内障の分（同じ分光形）の和として、錐体ごとの透過率の比 $\rho_k$ で LMS に反映されます。色順応は、L・M 錐体は CIECAM02 の順応度で、S 錐体は不完全（$0.5$）として、黄みが残る形で反映されます。

5. 瞳孔

この節は、画像の明るさと年齢から、瞳孔径を決める式を示します。

明るさ $L_m$（cd/m²）と視野の面積 $a_f$（deg²）から、Watson と Yellott [1] の統一式で瞳孔径を決めます。両眼で順応する場合、$F=L_m\,a_f$ です。

瞳孔径は、$2$〜$8$ mm の範囲に制限します。視野の面積 $a_f$ は、画像の視野角（既定 $50^\circ$）の横 × 縦（度²）、$L_m$ は、画像の平均輝度に画像の白の輝度を乗算した値です。「暗所散瞳」は $7$ mm に固定します。カメラの映像では、時定数 $0.8$ 秒の一次遅れで瞳孔径を変化させ、急な明滅を避けます。

要点: 瞳孔径は、画像の明るさと年齢で決まり、瞳孔が大きいほど回折は小さくなり、濁りの寄与は大きくなります。

6. 迷光（光の散乱）

この節は、眼の中で光が広い角度に散らばる量（迷光）を、CIE の式と臨床の測定値で定量化します。

6-1. 迷光パラメーター

迷光は、迷光パラメーター $s$ で表します。点光源から角度 $\theta$ の位置で、光源が眼に作る照度 $E_0$ に対する、等価な光幕の輝度 $L_{eq}$ の比で定義されます。

CIE の標準グレア観察者 [2][34] の式の 1 つに、年齢 $A$ の補正をつけた Stiles–Holladay の式があります。$\theta$ が約 $1^\circ$〜$30^\circ$ で有効です。

65 歳で $s=10\times(1+(65/70)^4)=17.4$（$\log s=1.24$）、20 歳で $s=10.07$（$\log s=1.00$）で、65 歳は 20 歳の約 $1.7$ 倍です。

6-2. 角度分布と、光の広がる割合

本アプリは、式 (29) を $1^\circ$〜$30^\circ$ で用い、$1^\circ$ より内側は一定、$30^\circ$ より外側は $\theta^{-3}$ で減衰させます。$1/\mathrm{sr}$ 当たりの広い散乱の分布 $P(\theta)$ は、次式です。

$30^\circ$ までの範囲を立体角で積分した、光の広がる割合は、次式です（$1^\circ$ より内側の一定の部分を含みます）。

65 歳の正常な眼では $F\approx 13\%$ です（$1^\circ$ 内を含む）。

6-3. 白内障の倍率と、見る人の眼の分

白内障の眼の迷光は、年齢の項に倍率 $m_s$（正常 $=1$）を乗算し、基準の眼との差として表します。

65 歳の眼の $\log s$ は、$\log s=1.24+\log_{10}m_s$ です。倍率 $m_s$ は、§8 と §11 の表で決まります。

6-4. 臨床の値との比較

Gholami、Reus、van den Berg（2017）[3] の表 4（C-Quant による測定）の値は、次のとおりです。

眼の数は、対照 $1761$、核 $592$、後嚢下 $75$ です（5 つの研究の合算）。同じ論文の正常の年齢式は、次のとおりです。

65 歳で $1.20$ で、式 (29) の $1.24$ に近い値です。対照の平均年齢 57 歳では $1.10$ で、表の $1.12$ と合います。手術を受ける患者の手術前の平均は $\log s=1.55\pm0.29$、手術で視力が改善する確率が $50\%$ になる分岐点は、矯正視力 $0.06$ logMAR、$\log s=1.29$ です（van der Meulen ら [5]）。

要点: 迷光は、年齢の項と白内障の倍率で表され、65 歳の正常眼で $\log s=1.24$ です。臨床の平均（核 $1.22$、皮質 $1.26$、後嚢下 $1.48$）を、各群の年齢の正常値と比べた増分に、本アプリの段を対応させます（§11）。

7. 点像分布関数（PSF）

この節は、眼の像のぼけ（点光源の像の広がり）を、瞳関数から計算する方法を示します。

PSF は、コア（回折と濁りの形）と、広い散乱（§6、§7-5）の 2 つに分けて作成し、画像（線形の光）に畳み込みます。

7-1. 瞳関数とコア

瞳の面の複素振幅 $P(x,y)$ のフーリエ変換の二乗が、コアの PSF です。

$a$ は振幅（瞳の外は $0$）、$\mathrm{OPD}$ は光路差です。濁りがなく、瞳が円で、収差が無ければ、PSF はエアリーの円盤です。波長ごと（$610$、$550$、$465$ nm）に計算し、合計を $1$ に正規化します。

7-2. Stiles–Crawford の効果、収差

Stiles–Crawford の効果は、瞳の中心から離れた光ほど、網膜の感度が低くなる効果です。強度が $10^{-\rho_{sc} r^{2}}$（$r$ は瞳の中心からの距離（mm）、$\rho_{sc}=0.05\ \mathrm{mm^{-2}}$）で低下するので、振幅はその平方根です。

球面収差は、Zernike 多項式 $Z_4^0$ で表します。$\rho_n=r/(3\ \mathrm{mm})$（$6$ mm の瞳孔の半径で規格化）として、

$c_{40}$ は、$6$ mm の瞳孔での RMS 値（µm）で、核の進み具合により $-0.10$、$-0.25$、$-0.45$ µm（初期・中期・進行）とします。核白内障では、球面収差が負の方向へ変化することが報告されています [22][23]。屈折のぼけ（近視化）と色収差は、波長 $\lambda$ のデフォーカスとして、次の項を $\mathrm{OPD}$ に加えます（一般の設定では近視化は $0$、色収差は基準の眼と同じとして加えません）。

$\Delta_D$ は近視化（D）、$\Delta_{\mathrm{LCA}}$ は縦の色収差（D）で、Thibos らの式 [18] の形です。

7-3. 濁りの遮りと位相

濁りは、瞳の面の振幅を遮り、位相にざらつきを加えます。遮りの割合（強度）を $o$ とすると、振幅に $\sqrt{1-o}$ を乗算します。

$\chi_o$ は、点 $(x,y)$ を通る光が濁りに当たる度合い（$0$〜$1$、縁はなめらか）、$\sigma_o$ はざらつきの RMS（µm）、$\xi$ は、相関長 $0.3$ mm の乱数場です。$0.3$ mm 間隔の格子に平均 $0$・分散 $1$ の乱数を置き、双線形補間した後、分散の平均が $1$ になるように正規化します（双線形補間は分散の平均を $4/9$ にするので、$3/2$ 倍します）。

• 後嚢下: 水晶体の後ろの中心にある板。瞳の面に投影した円（楕円も可）で、縁は $0.3$ mm の幅でなめらかです。板の半径は、初期・中期・進行で $0.5$、$1.3$、$2.2$ mm、遮りは $0.3$、$0.55$、$0.8$、ざらつきは $0.6$、$1.0$、$1.4$ µm です。
• 皮質: 周辺から中心へ伸びる楔。数は $12$、水晶体の半径 $4$ mm の位置から中心へ伸び、伸びた割合は $0.25$、$0.6$、$0.95$、楔が占める角度の割合は $0.15$、$0.35$、$0.65$、遮りは $0.3$、$0.5$、$0.75$、ざらつきは $0.5$、$0.9$、$1.3$ µm です。

7-4. 奥行きと視野の補間

濁りは瞳の面より奥にあるので、視野角 $\alpha$ の光に対して、濁りの影は瞳の面で次の量だけずれます（図 2、図 3）。

奥行き $d$ は、皮質 $0.8$ mm、後嚢下 $4.5$ mm（瞳の面から）で、水晶体の半径は $5$ mm とします。視野を $3\times3$ の節に分け、節 $(i,j)$ ごとに PSF $K_{ij}$ を作成して、画素の位置 $(u,v)\in[0,1]^2$ では、隣り合う 4 節を双線形の重みで混合します。

節の視野角は、画像の半分の視野の正接 $\tan(\mathrm{FOV}/2)$ を用いて、$(\tan\alpha_x,\tan\alpha_y)=\bigl((i-1)\tan H,\ (j-1)\tan H'\bigr)$ とします（$H$、$H'$ は半視野角）。

7-5. 遮られた光と、広い散乱

濁りが遮った光の $80\%$ は広い散乱に回り、$20\%$ は吸収されると仮定します。濁りを通るコヒーレントな光の割合 $\tau$ は、濁りのある瞳と、濁りのない同じ瞳の、振幅の二乗の和の比です。

光の保存は、コア + 広い散乱 + 吸収 $=1$ とします。

$w_{\mathrm{CIE}}$ は、式 (31) の $s_\Delta$ による散乱の割合で、実際には、目標の分布を画像の端と $30^\circ$ で打ち切ったミップの重みの和 $\sum_\ell w_\ell$（§9-2）です。画像の外には光が無いので、画像の端での打ち切りは近似ではなく、正しい扱いです（視野角 $50^\circ$、幅 $1000$ 画素、65 歳で $0.109$。視野を $1^\circ$〜$30^\circ$ の全部とした式 (31) は $0.130$）。広い散乱に使用する $\tau$ は、視野の $3\times3$ の節（§7-4）の $\tau$ の平均です。広い散乱の核は、画像全体で 1 つとする近似です。

要点: PSF は、瞳関数のフーリエ変換（コア）と、CIE の式から決まる広い散乱の和として作成し、濁りは奥行きに応じた影として瞳の面に置きます。

8. 濁りが瞳孔を覆う割合と、散乱の増分

この節は、皮質と後嚢下の濁りによる散乱の増分を、濁りが瞳孔を覆う割合に結び付けます。

核の濁りは、水晶体の全体に均一にあるので、散乱の倍率の増分（§11）を視野全体に一様に反映します。皮質の楔と後嚢下の板は、水晶体の一部にだけあり、瞳孔の開口を覆った分だけ光を散らします（図 3）。そこで、この 2 つの増分は、濁りが瞳孔を覆う割合に比例させます。

覆う割合 $c$ は、瞳孔の開口のうち、奥行き（式 (39)）の視差でずれた濁りと重なる部分を、Stiles–Crawford の強度 $w_{sc}(r)=10^{-\rho_{sc} r^{2}}$ で重み付けした割合です。

$\chi$ は、後嚢下の板では、板の内側で $1$、外側で $0$（縁は $0.3$ mm の幅でなめらか）です。散乱の倍率は、基準の覆う割合 $c_0$ との比で決まります。

$m_{\mathrm{nuc}}$ は核の分（正常 $=1$ に核の増分を加えた値）、$\Delta$ は §11 の表の増分です。基準は、濁りが中心にあり、視野の中心を見て、後嚢下は瞳孔 $3$ mm、皮質は $6$ mm の場合で、このとき §11 の表の $\log s$ と一致します（後嚢下 $25\%$・$50\%$・$100\%$ で $\log s=1.719$、$1.803$、$2.046$。表は $1.72$、$1.80$、$2.05$）。

散乱の計算に用いる覆う割合は、視野の中心の 1 つだけです（散乱は画像全体に 1 つの核で広げるため）。視野の端での板の見え方は、§7 のコアの PSF に含まれます。

要点: 濁りによる散乱の増分は、瞳孔径が小さいほど（濁りが瞳孔を多く覆うほど）大きくなり、視野の中心の覆う割合で決まります。

9. 画像への反映（畳み込み）

この節は、PSF を画像に作用させて、式 (7) の項を計算する方法を示します。

9-1. コアの畳み込み

コアの PSF は、$(2H+1)^2$ の格子（$H=7$）の係数 $k_{pq}$ として持ちます。格子の間隔（texel のピッチ）は、画素の $2^{L_c}$ 倍で、ミップマップの段 $L_c$ から画像を読み取って畳み込みます。

$k_{pq}$ は、式 (40) で混合した 4 節の係数に、光の保存の係数 $w_{\mathrm{core}}$ を乗算したものです。

9-2. 広い散乱のミップマップによる近似

広い散乱は、CIE の式から決まる分布を、画像のミップマップ（段 $\ell$ ごとに半分の大きさ）の重ね合わせで近似します。段 $\ell$ の平均像を $M_\ell(L)$ とすると、散乱の項は次のとおりです。

$\bar M_\ell$ は、段 $\ell$ の画素の幅（$2^\ell$ 画素）の中心の 1 点と、向きを回した 4 点（半径 $0.4\cdot 2^\ell$）の平均です（四角いハローを避けるため）。重み $w_\ell\ge 0$ は、目標の分布 $t_j=P(r_j\theta_{\mathrm{pix}})\,\theta_{\mathrm{pix}}^{2}$（半径 $r_j$ 画素、画素の角度 $\theta_{\mathrm{pix}}$。$P$ の引数は度、$\theta_{\mathrm{pix}}^{2}$ は rad²）に、段ごとの核 $q_\ell(r_j)$ の重ね合わせが最もよく合うように、相対誤差の二乗和を最小にして決めます。

段の核 $q_\ell$ は、段 $\ell$ のミップを上の 5 点で平均した時に、実際に生じる核です（ミップの縮小と 5 点の平均から数値で求めます）。重み $w_\ell$ は、この核で目標の分布に合わせます。散乱の割合 $\sum_\ell w_\ell$ の上限は $0.9$ です。

9-3. 錐体の信号へのまとめ

式 (7) の項は、取り込みの線形 RGB で計算し、入口の行列 $M_{\mathrm{in}}$（式 (50)）で錐体の信号に変換して、水晶体と色順応（式 (22)）、明るさの補正（式 (24)）を反映します。

$w_\ell$ は、指定年齢の眼の $s_\Delta$（式 (32)）から決めた、基準の眼に対する増加分の散乱の重み、$w^{0}_\ell$ は、基準の眼（見る人の年齢 $V$）の散乱 $S_0$ の重みです。$E$ は白を超える成分（チャンネルごとの $\max(L_c-1,0)$。式 (7) の直前）です。$\mathbf{q}$ は §10 のトーンマッピングで表示の線形 RGB になります。

要点: 画像への反映は、コアの畳み込み、広い散乱のミップマップによる近似、白を超える光の散乱の 3 項の和を錐体の信号に変換し、錐体ごとの透過率の比と明るさの補正を乗算する計算です。

10. 色の計算（錐体空間と Oklab）

この節は、本アプリの色の計算を、錐体空間（LMS）と Oklab で定義します。画像の色は、線形 RGB から錐体の信号に変換し、水晶体（§4）を反映し、Oklab で色相を保ってトーンマッピングし、表示の色空間に戻します（図 12）。

10-1. 色空間と錐体の行列

線形 RGB から XYZ(D65) への行列は、原色の色度 $(x_i,y_i)$ と白点 D65 の色度 $(x_w,y_w)=(0.3127,\,0.3290)$ から導出します。原色の方向ベクトルを列とする行列を $P$、白点の同形のベクトルを $\mathbf{W}$ とします。

原色の色度は、sRGB で R$(0.64,\,0.33)$、G$(0.30,\,0.60)$、B$(0.15,\,0.06)$、Display P3 で R$(0.68,\,0.32)$、G$(0.265,\,0.69)$、B$(0.15,\,0.06)$ です。この行列の第 2 行は、各原色の輝度 $Y$ への寄与です（sRGB で $0.2126,\ 0.7152,\ 0.0722$、Display P3 で $0.2290,\ 0.6917,\ 0.0793$）。

錐体の信号 LMS は、XYZ に、錐体の行列 $M_{XYZ\to LMS}$（錐体の構成 S4。Hunt–Pointer–Estévez の錐体の形を保ち、CIE 1964 10° の XYZ に合わせた行列 [41]。D65 の白が $(1,1,1)$ になるように正規化されている）を作用させて得ます。取り込みの色空間から LMS への入口の行列と、LMS から表示の色空間への出口の行列は、次のとおりです。

sRGB と S4 では、次の値です。

10-2. Oklab

Oklab（Ottosson, 2020 [38]）は、錐体に似た信号（LMS′）の立方根から、明度 $L$ と、色の 2 軸 $(a,b)$ を作る均等色空間です。本アプリは、錐体の構成に合わせた LMS から直接 Oklab を作成します。

$M_1$、$M_2$ は Ottosson の行列です。立方根は、符号を保つ形（負の値には $-\sqrt[3]{-q}$）とします。色相 $h=\operatorname{atan2}(b,a)$、彩度 $C=\sqrt{a^2+b^2}$ です。無彩色では $a=b=0$ で、明度は輝度の立方根（$L=\sqrt[3]{Y}$）になります。LMS を一様に $t$ 倍すると、$(L,a,b)$ は $t^{1/3}$ 倍になるので、色度と色相は変わりません。

10-3. トーンマッピング

画面の光を $[0,1]$ に収めるため、表示の線形 RGB の最大チャンネル $m=\max_c (M_{\mathrm{out}}\mathbf{q})_c$（1 の補正の後の $\mathbf q$ で求めます）から、次の 3 段で変換します。膝より暗い成分は変えませんが、SDR の白 $1.0$ は膝を超えるので、$\tau(1)=0.889$ になります。

1. 1. 色域の下側の補正: 水晶体の反映で $M_{\mathrm{out}}\mathbf{q}$ に負の成分が生じた場合（色域の外）は、Oklab の明度 $L$ と色相 $h$ を保ち、彩度だけを下げて、負の成分がなくなる最大の係数 $\kappa\in[0,1]$ を求めます（二分法）。

1. 2. 一様な縮小: 最大チャンネルに、膝 $k_0=0.7$ の肩つきの曲線 $\tau$ を適用し、LMS 全体を一様に縮小します（色度と色相は不変）。

1. 3. 白への道: 膝を超えた成分だけ、色を同じ最大チャンネルの無彩色へ寄せます。この混合を、Oklab で、$(a,b)$ を一定の割合で小さくする形で行うので、色相は保たれます。

式 (55) の $(L,a,b)$ は、2 の縮小の後の値です。$\sqrt[3]{\tau(m)}$ は、同じ最大チャンネルの無彩色 $(\tau,\tau,\tau)$ の明度です。$(L',a',b')$ を式 (52) の逆で LMS に戻し、$M_{\mathrm{out}}$ で表示の線形 RGB にして、$[0,1]$ に収めます。

10-4. 色空間（sRGB と Display P3）

sRGB と Display P3 は、伝達関数が同一で（式 (8)、(9)）、原色だけが異なります。式 (49) と (50) の原色を入れ替えるだけで、以降の式は同じです。取り込みの色空間は、計算が画像を受け取る時の色空間です。Web では、ブラウザーが画像を表示の色空間に変換して渡すので、表示が Display P3 なら取り込みも Display P3、そうでなければ sRGB です。表示の色空間は、画面の能力に合わせます。ゲインマップは、取り込みの線形 RGB に適用します（式 (12)）。白を超える成分は、取り込みの線形 RGB のチャンネルごとに判定します（取り込みと表示の色空間が異なる場合は近似です）。

要点: 色の計算は、入口の行列で LMS にし、水晶体と色順応を錐体ごとに反映し、Oklab で色相を保ってトーンマッピングし、出口の行列で表示に戻します。sRGB と Display P3 は、原色の入れ替えだけで同じ式です。

11. 進み具合と臨床の対応

この節は、白内障の進み具合を、散乱の倍率と各パラメーターに対応づけ、臨床の値と比較します。

進み具合 $p\in[0,100]\%$ は、段の表（初期・中期・進行）を $p=0$、$50$、$100\%$ の値として、間を直線で補間します。段の値を $v_0$、$v_1$、$v_2$ とすると、次のとおりです。

進み具合 $0\%$ は「初期」の値であり、寄与なしではありません（型を含めない場合に限り、その型の寄与は反映されません）。散乱の倍率の増分（正常 $=1$ に加える値）は、次のとおりです。

65 歳の眼の $\log s$ は、基準の瞳孔（§8）で次のとおりです。

核の中期（$50\%$）は、手術前の平均 $1.55$（§6-4）に近い値としました。皮質を核と同じにしたのは、各群の年齢の正常値に対する増分が、核 $+0.05$、皮質 $+0.10$ と、どちらも小さいためです（本アプリの仮定）。後嚢下は、平均 $1.48$ が核より約 $0.26$ 高い（年齢をそろえると $0.29$）ため、倍率を $10^{0.26}=1.82$ 倍としました。

臨床との比較は、絶対値ではなく増分で行います。Gholami らの群は平均年齢が異なる（対照 57 歳、核 63 歳、皮質 62 歳、後嚢下 60 歳）ので、各群の平均年齢での年齢式 (33) の値との差を取ります。核 $+0.05$（$\times1.11$）、皮質 $+0.10$（$\times1.25$）、後嚢下 $+0.34$（$\times2.2$）です。「初期」の $\times1.3$ は、核の平均より大きく、皮質の平均に近い値です（段の値は本アプリの仮定）。手術前の平均は、年齢式の 72 歳の値 $1.30$ の約 $\times1.8$ で、「中期」の $\times2.0$ に近い値です。

上の $\log s$ は、散乱の倍率だけの値です。皮質の楔と後嚢下の板が遮った光は、さらに散乱に加わります（§7-5）。$\log s$ が $2$ を超える付近では、式 (30) を $1^\circ$〜$30^\circ$ に延長した積分が、散乱に回る割合を大きくします（$\log s=1.24$ で $13\%$、$1.54$ で $26\%$、$1.79$ で $46\%$、$2.05$ で $84\%$）。そのため、上限（$90\%$）で頭打ちになる範囲があります。

要点: 進み具合は、段の表の線形補間で与えます。散乱の倍率の増分は、臨床の平均の、年齢をそろえた増分（核 $+0.05$、皮質 $+0.10$、後嚢下 $+0.34$ の $\log s$）と、手術前の平均に対応づけています。

12. 年齢と、含めないもの

年齢は 1 つで、「指定年齢の正常眼」と「白内障眼」が同じ年齢を使用します。年齢は、(1) 水晶体の黄ばみ（式 (15)）、(2) 光の散乱（式 (29)）、(3) 瞳孔（式 (27)）に作用します。「元の画像」には作用しません。

核白内障では、屈折の近視化（水晶体の屈折力の増加）が起こることが知られています。しかし、近視化は眼鏡で矯正できるぼけです。本アプリは、矯正した状態での白内障の見え方（黄ばみ、散乱、まぶしさ）を扱うので、一般の設定では近視化（デフォーカス）を反映しません。近視化の値（式 (37) の $\Delta_D$）は、研究向けの設定で入力できます。

要点: 年齢は黄ばみ、散乱、瞳孔に作用し、近視化は一般の設定では含めません。

13. 限界

• 診断、治療、視力検査には使用できません。個人の見え方とは異なります。眼の症状が気になる場合は、眼科を受診してください。
• 数値の多くは目安です（§14 の表で、出典のない値を明示しています）。
• 画面の明るさと色は、画面によって異なって見えます。HDR の光源は、画面では再現できません（§2-5 は、散乱の光を補って再現します）。
• 見る人の眼が 20 歳相当という前提（§2）です。見る人が高齢の場合、「元の画像」も、やや軟らかく見えます。
• 視力、コントラスト感度、視野などの出力は持ちません。
• トーンマッピングの膝（$0.7$）は SDR の画像にも作用し、白 $1.0$ は $0.889$ になります（§10-3）。
• 水晶体の密度の年齢変化は CIE 170-1 の 1 次の式で、年齢の 2 乗の目盛りで直線とする報告 [6] とは形が異なります。
• 臨床の値（$\log s$）との比較は、平均の増分で行いました。個人の眼の値は、平均から大きく離れ得ます（標準偏差は $0.16$〜$0.34$）。

要点: 本アプリは、見え方を体験するための道具であり、数値の多くは目安です。

14. パラメーターの表と出典

本アプリのパラメーターと内部の定数 62 項目について、値、出典、確認の水準を示します。項目の名前は、研究向けの設定の項目名と同じ言葉です。水準は次の 4 段階です。

• A: 原典の本文（表・式・節）を読んで確かめた
• B: 要旨・要約だけを読んだ
• C: 二次資料（総説・教科書・他の論文の引用）で確かめた
• D: 文献が見つからない（本アプリの仮定。決めた理由を備考に書く）

水準の内訳は、A が 5、B が 1、C が 20、D（文献なし）が 35、入力値などが 1 項目です。水準 D の項目は、決めた理由を備考に 1 行で書きました。眼の寸法（図 2）は、主要な原典（Atchison ら 2008、Strenk ら 1999、Dubbelman と van der Heijde 2001、Navarro ら 1985）の本文を読めておらず、水準 C の値です。

14-1. 眼・場面

14-2. 核（黄変・近視化）

14-3. 皮質（楔形の濁り）

14-4. 濁りの位置・奥行き

14-5. 後嚢下（中心の濁り）

14-6. 広い散乱

14-7. 内部の定数・計算の設定

14-8. 画像・HDR・表示

14-9. 眼の寸法（図 2）

要点: 値は、文献で確かめたもの（水準 A・B）、二次資料で確かめたもの（C）、文献のない仮定（D）に区別して示しました。D の項目は、決めた理由を備考に記しています。

参考文献

[1] A. B. Watson and J. I. Yellott, "A unified formula for light-adapted pupil size", Journal of Vision, vol. 12, no. 10, article 12, 2012. doi:10.1167/12.10.12 — 確認: 式 10・17・21 を本文で確認。

[2] CIE 146:2002, CIE Equations for Disability Glare, in CIE Collection on Glare 2002 (CIE 146/147:2002), Commission Internationale de l'Éclairage (including the age-dependent Stiles–Holladay equation); see also CIE 135/1:1999, Disability glare, J. J. Vos — 確認: CIE のページで文書の範囲を確認。式の形は [34] の要旨で確認。CIE の文書そのものは未読。

[3] S. Gholami, N. J. Reus, and T. J. T. P. van den Berg, "Changes in intraocular straylight and visual acuity with age in cataracts of different morphologies", Journal of Ophthalmology, vol. 2017, article 5649532, 2017, Table 4 and Equation 1. doi:10.1155/2017/5649532. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC5554999 — 確認: 表 4 と式 1 を本文（式は MathML）で確認。

[4] J. Delahunt, M. A. Webster, L. Ma, and J. S. Werner, "Long-term renormalization of chromatic mechanisms following cataract surgery", Visual Neuroscience, vol. 21, 2004. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC2633455 — 確認: 本文を読んだ。補償の割合の数値は書かれていない。

[5] I. J. E. van der Meulen, J. Gjertsen, B. Kruijt, J. P. Witmer, A. Rulo, R. O. Schlingemann, and T. J. T. P. van den Berg, "Straylight measurements as an indication for cataract surgery", Journal of Cataract & Refractive Surgery, vol. 38, no. 5, pp. 840–848, 2012. doi:10.1016/j.jcrs.2011.11.048 — 確認: 要旨で数値（1.55、1.29）を確認。本文は未取得。

[6] R. van de Kraats and D. van Norren, "Optical density of the aging human ocular media in the visible and the UV", Journal of the Optical Society of America A, vol. 24, no. 7, pp. 1842–1857, 2007. doi:10.1364/josaa.24.001842 — 確認: 要旨のみ。年齢変化は「年齢の 2 乗の目盛りで直線」とあり、本アプリの式（年齢の 1 次）とは別の形。

[7] J. M. Kraft and J. S. Werner, "Aging and the saturation of colors. 2. Scaling of color appearance", Journal of the Optical Society of America A, vol. 16, no. 2, pp. 231–235, 1999. doi:10.1364/josaa.16.000231 — 確認: 要旨のみ。ある密度の範囲では実質的な補償、最高密度では不完全な補償。

[8] Android Developers, "Ultra HDR image format", version 1.1. https://developer.android.com/media/platform/hdr-image-format — 確認: 本文を読んだ（Display 節の式、HDR Gain map metadata の表、Gain map generation の注）。

[9] ISO 21496-1:2025, Digital photography — Gain map metadata for image conversion — Part 1: Dynamic range conversion, International Organization for Standardization, 2025 — 確認: 題名と Android の仕様書での扱いだけ確認。本文は未読。

[10] IEC 61966-2-1:1999, Multimedia systems and equipment — Colour measurement and management — Part 2-1: Colour management — Default RGB colour space — sRGB, and Amendment 1:2003, International Electrotechnical Commission — 確認: 規格そのものは未読。[16] の解説で定数を確認。

[11] Sample images: HDRIs (CC0) from Poly Haven (https://polyhaven.com/license) and ambientCG (https://docs.ambientcg.com/license/).

[12] J. Pokorny, V. C. Smith, and M. Lutze, "Aging of the human lens", Applied Optics, vol. 26, no. 8, pp. 1437–1440, 1987. doi:10.1364/ao.26.001437 — 確認: 要旨のみ（400 nm で 20〜60 歳に 10 年あたり 0.12、60 歳超に 0.40 の密度）。式・表の本文は未読。

[13] Gullstrand–Le Grand schematic eye (relaxed), as tabulated in the lecture notes of the Visual Optics Lab, University of Arizona, "Class02_08". https://wp.optics.arizona.edu/visualopticslab/wp-content/uploads/sites/52/2016/08/Class02_08.pdf — 確認: 表（角膜 0.55、前房 3.05、水晶体 4、硝子体 16.597 mm）を読んだ。Gullstrand・Le Grand の原典は未読。

[14] S. Giovanzana, T. Evans, and B. Pierscionek, "Lens internal curvature effects on age-related eye model and lens paradox", Biomedical Optics Express, vol. 8, no. 11, pp. 4827–4837, 2017, Table 1. doi:10.1364/BOE.8.004827. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC5695934 — 確認: 表 1 の年齢式を読んだ。

[15] Webvision, "Crystalline lens and cataract". https://www.webvision.pitt.edu/?p=7859 — 確認: 本文を読んだ（型の位置、皮質と核は組織学的に区別できない、後嚢下は後極で後嚢の前面）。二次資料。

[16] International Color Consortium and W3C, "How to interpret the sRGB color space (specified in IEC 61966-2-1) for ICC profiles". https://www.w3.org/Graphics/Color/srgb — 確認: 項目 8 の伝達関数を読んだ。

[17] ITU-R Recommendation BT.709-6, Parameter values for the HDTV standards for production and international programme exchange, 2015. https://www.itu.int/dms_pubrec/itu-r/rec/bt/R-REC-BT.709-6-201506-I!!PDF-E.pdf — 確認: 項目 3.2 の輝度式を読んだ。

[18] L. N. Thibos, M. Ye, X. Zhang, and A. Bradley, "The chromatic eye: a new reduced-eye model of ocular chromatic aberration in humans", Applied Optics, vol. 31, no. 19, pp. 3594–3600, 1992. doi:10.1364/ao.31.003594 (coefficients as quoted in the text of [36]) — 確認: Thibos の原文は要旨のみ。係数は [36] で確認（二次）。

[19] L. T. Chylack Jr. et al., "The Lens Opacities Classification System III", Archives of Ophthalmology, vol. 111, pp. 831–836, 1993. doi:10.1001/archopht.1993.01090060119035 — 確認: 要旨のみ（標準画像: NC・NO 各 6 枚、皮質 5 枚、後嚢下 5 枚、十進尺度）。皮質・後嚢下の面積や大きさの定義は本文が読めず確認できていない。

[20] B. E. K. Klein, R. Klein, and K. E. Lee, "Incidence of age-related cataract: the Beaver Dam Eye Study", Archives of Ophthalmology, vol. 116, no. 2, pp. 219–225, 1998 — 確認: 要旨と書誌を確認。分類の運用の細部は本文が読めず確認できていない。

[21] AREDS Research Group, "The Age-Related Eye Disease Study system for classifying cataracts from photographs: AREDS report no. 4", American Journal of Ophthalmology, vol. 131, pp. 167–175, 2001. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC2032014 — 確認: 本文を読んだ（皮質・後嚢下は中央 5 mm の円に対する面積の %。連続尺度で、離散の重症度の区分は定義されない）。

[22] T. Kuroda, T. Fujikado, N. Maeda, T. Oshika, Y. Hirohara, and T. Mihashi, "Wavefront analysis in eyes with nuclear or cortical cataract", American Journal of Ophthalmology, vol. 134, pp. 1–9, 2002. doi:10.1016/s0002-9394(02)01402-2 — 確認: 要旨のみ。核白内障で球面収差が負、皮質で正（6 mm 瞳孔）。大きさ（µm）は要旨にない。

[23] Wu, Jin, Shen, Li, and Cui, "Wavefront aberrations and retinal image quality in different lenticular opacity types and densities", Scientific Reports, vol. 7, article 15247, 2017. doi:10.1038/s41598-017-15245-4. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC5681554 — 確認: 表 2 を読んだ（内部光学・6 mm の球面様収差: 核 −0.35 ± 0.41 µm、皮質 0.08 ± 0.14、後嚢下 0.11 ± 0.17）。

[24] K. Pesudovs and D. B. Elliott, "Refractive error changes in cortical, nuclear, and posterior subcapsular cataracts", British Journal of Ophthalmology, vol. 87, pp. 964–967, 2003. doi:10.1136/bjo.87.8.964 — 確認: 要旨と書誌を確認した（核白内障群の球面等価の変化 −0.38 (0.60) D）。本文は確認できていない。

[25] J. Mellerio, "Yellowing of the human lens: nuclear and cortical contributions", Vision Research, vol. 27, pp. 1581–1587, 1987. doi:10.1016/0042-6989(87)90166-0 — 確認: 要旨のみ。核は色素が増え、皮質は光路長が増える。

[26] S. Siik, L. T. Chylack, J. Friend, J. Wolfe, J. Teikari, H. Nieminen, and P. J. Airaksinen, "Lens autofluorescence and light scatter in relation to the lens opacities classification system, LOCS III", Acta Ophthalmologica Scandinavica, vol. 77, pp. 509–514, 1999. doi:10.1034/j.1600-0420.1999.770504.x — 確認: 要旨のみ。NC と自家蛍光の指標 r = −0.71、NO と光散乱 r = 0.64。

[27] K. O. Gilliland, S. Johnsen, S. Metlapally, M. J. Costello et al., "Mie light scattering calculations for an Indian age-related nuclear cataract with a high density of multilamellar bodies", Molecular Vision, vol. 14, pp. 572–582, 2008. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC2275208 — 確認: 本文を読んだ。計算モデルの予測（測定ではない）。インドの核白内障の 1 例で、550 nm の入射光の 99.8% を散乱と予測。米国の未熟な白内障では 20% 未満と述べる。

[28] UN Regulation No. 112, Uniform provisions concerning the approval of motor vehicle headlamps emitting an asymmetrical passing-beam or a driving-beam or both and equipped with filament lamps and/or light-emitting diode (LED) modules, 6.2.4. https://www.mlit.go.jp/jidosha/un/UN_R112.pdf — 確認: 6.2.4 の配光の表を読んだ（B50L の最大 350 cd、BR の最大 1,750 cd）。

[29] ITU-R Report BT.2408-8, Guidance for operational practices in HDR television production, 2024 — 確認: 本文を読んだ。写真用の標準の曲線は無い（Annex 5 に PQ 表示用の knee があるのみ）。後のバージョン BT.2408-9 は未読。

[30] R. A. Applegate and V. Lakshminarayanan, "Parametric representation of Stiles–Crawford functions: normal variation of peak location and directionality", Journal of the Optical Society of America A, vol. 10, no. 7, pp. 1611–1623, 1993. doi:10.1364/JOSAA.10.001611; and W. S. Stiles, Proceedings of the Royal Society B, vol. 123, pp. 90–118, 1937. — 確認: 二次資料が引用する値で確認（ρ = 0.047 ± 0.013 mm⁻²（水平方向）、Stiles 0.0636 mm⁻²（550 nm））。原典そのものは未読。

[31] L. Franssen, J. Tabernero, J. E. Coppens, and T. J. T. P. van den Berg, "Pupil size and retinal straylight in the normal eye", Investigative Ophthalmology & Visual Science, vol. 48, no. 5, pp. 2375–2382, 2007 — 確認: 本文を読んだ。自然な瞳孔（2〜7 mm）では、迷光は瞳孔径にほとんど依存しない（0.2 log 単位以内）。

[32] B. Winn, D. Whitaker, D. B. Elliott, and N. J. Phillips, "Factors affecting light-adapted pupil size in normal human subjects", Investigative Ophthalmology & Visual Science, vol. 35, no. 3, pp. 1132–1137, 1994 — 確認: 要旨のみ。明所の瞳孔径は年齢とともに直線的に減る（暗所の値ではない）。

[33] H. Gross (ed.), Handbook of Optical Systems, vol. 4, chapter 36 "Human eye", Wiley-VCH, 2008, ISBN 978-3-527-40380-6 — 確認: PDF の本文を読んだ（瞳孔径 2〜8 mm、入射瞳の拡大 1.13、Stiles–Crawford の p = 0.066）。教科書。

[34] J. J. Vos, "On the cause of disability glare and its dependence on glare angle, age and ocular pigmentation", Clinical and Experimental Optometry, vol. 86, no. 6, pp. 363–370, 2003. doi:10.1111/j.1444-0938.2003.tb03080.x — 確認: 要旨のみ。L_veil/E = 10(1 + (Age/70)⁴)/θ²（1°〜30°）を確認。

[35] Y. Asano, M. D. Fairchild, and L. Blondé, "Individual colorimetric observer model", PLoS ONE, vol. 11, no. 2, e0145671, 2016, Eqs. 2–4, citing CIE 170-1:2006. https://pmc.ncbi.nlm.nih.gov/articles/PMC4749337; the two-component ocular media density table of CIE 170-1 distributed with the model (as included in luxpy, https://github.com/ksmet1977/luxpy); and the lens density table of Stockman, Sharpe and Fach (1999), CVRL, http://www.cvrl.org/maclens.htm — 確認: 式 2〜4、2 成分の表、CVRL の表を読んだ（CIE 170-1 の原典そのものは未読）。

[36] D. H. Marimont and B. A. Wandell, "Matching color images: the effects of axial chromatic aberration", Journal of the Optical Society of America A, vol. 11, pp. 3113–3122, 1994 — 確認: 本文を読んだ（Thibos の式の係数 0.63346、0.21410。1.7312 は Marimont・Wandell が 580 nm 基準で選んだ値）。

[37] Webvision, "Facts and figures concerning the human retina". https://www.webvision.pitt.edu/?p=35 — 確認: 本文を読んだ（網膜の厚さ、中心窩 1.5 mm、視神経乳頭 1.86 × 1.75 mm）。乳頭の値には出典の記載が無い。

[38] B. Ottosson, "A perceptual color space for image processing", blog post, 23 December 2020. https://bottosson.github.io/posts/oklab/ — 確認: 行列 M1・M2 の値を使用した。

[39] M. D. Fairchild, Color Appearance Models, 3rd ed., John Wiley & Sons, 2013. doi:10.1002/9781118653128 — 確認: von Kries 型の色順応の形として引用。本文は未読。

[40] JIS Z 8701:1999, Colour specification — The CIE 1931 standard colorimetric system and the CIE 1964 supplementary standard colorimetric system (in Japanese), Japanese Standards Association, Annex, Table 2 (CIE 1964 10° color-matching functions) — 確認: JIS ハンドブックの付表から値を書き起こして使用した。

[41] R. W. G. Hunt and M. R. Pointer, "A colour-appearance transform for the CIE 1931 standard colorimetric observer", Color Research & Application, vol. 10, no. 3, pp. 165–179, 1985. doi:10.1002/col.5080100306 — 確認: 錐体の構成 S4（HPE の錐体の形を保ち、10° の XYZ に合わせた行列）の元。本文は未読。

[42] CIE standard illuminant D65, table of the Colour & Vision Research Laboratory. http://www.cvrl.org/database/data/cie/Illuminantd65.csv — 確認: 表の値を読み、5 nm で使用した。

[43] SMPTE EG 432-1:2010, Digital Source Processing — Color Processing for D-Cinema; and Apple Inc., "Display P3", ICC Registry. https://registry.color.org/rgb-registry/displayp3 — 確認: 原色の色度座標の値を使用した。本文は未読。

[44] CIE 159:2004, A Colour Appearance Model for Colour Management Systems: CIECAM02; and N. Moroney, M. D. Fairchild, R. W. G. Hunt, C. Li, M. R. Luo, and T. Newman, "The CIECAM02 color appearance model", IS&T/SID Tenth Color Imaging Conference, pp. 23–27, 2002 — 確認: どちらも本文は読んでいない。順応度の式は、colour-science の資料（colour.adaptation.degree_of_adaptation の例）と Wikipedia の CIECAM02 の項で確かめた。

[45] CIE 170-1:2006, Fundamental Chromaticity Diagram with Physiological Axes — Part 1, Commission Internationale de l'Éclairage, 2006 — 確認: 本文は未読。2 成分の密度の式と表は [35] で確認。

[46] A. Stockman, L. T. Sharpe, and C. Fach, "The spectral sensitivity of the human short-wavelength sensitive cones derived from thresholds and color matches", Vision Research, vol. 39, no. 17, pp. 2901–2927, 1999. Lens density table: CVRL, http://www.cvrl.org/maclens.htm — 確認: CVRL の表（lensss_5）を読んだ。論文の本文は未読。

[47] CIE 115:2010, Lighting of Roads for Motor and Pedestrian Traffic, Commission Internationale de l'Éclairage, 2010 — 確認: 本文は未読。等級の対応は [48] による。

[48] EN 13201-2:2015, Road lighting — Part 2: Performance requirements, European Committee for Standardization, 2015, Table 3 (P classes) — 確認: 本文は未読。P 等級の平均照度（P2 10、P3 7.5、P4 5、P5 3 lx）は二次資料による。

[49] CIE 144:2001, Road Surface and Road Marking Reflection Characteristics, Commission Internationale de l'Éclairage, 2001 — 確認: 本文は未読。標準の路面 R3 の平均輝度係数 q0 = 0.07 cd/m²/lx は二次資料による。