明るく大きく

明るく大きく 3.0 の理論

1. 概要

本稿は、アプリ「明るく大きく」3.0 が画像の視認性を向上させるために行う色変換の理論を述べる。本稿の枠組みは、同アプリ 2.0 の README の付録 [1] の数式を、3.0 の処理に合わせて再整理したものである。処理の要点は、色度は保ったまま明度だけを変えることにある。明度のみを操作するため、色相は変化せず、明暗の差だけが強調される。

1-1. 前提

以下を本稿全体の仮定とする。

1. 1. 白点: D65、$(x,y)=(0.3127,\,0.3290)$（sRGB および Display P3 の規格の定義値 [2][3][4]）。すべての変換で共通である。

1. 2. 観測者: CIE 1931 2° 標準観測者 [5]（XYZ の定義 [6][7]）。

1. 3. 色空間: 入力と表示は、sRGB [2] または Display P3 [3][4] のいずれかとする。両者は伝達関数が同一で、原色のみが異なる（§2、§3）。

1. 4. 量子化: 8 ビット（$0$〜$255$）。符号化値は画素値を $255$ で割った $0$ 以上 $1$ 以下の実数として扱う。

1. 5. 色順応: 入力と表示の白点がともに D65 であるため、色順応変換は行わない。

1. 6. 明度と色度: 明度は CIELUV の $L^{*}$、色度は CIE 1976 UCS の $u',\,v'$ を用いる [6][7]。

1-2. 記法

• $R,\,G,\,B$: 線形 RGB の各成分。$0$ 以上 $1$ 以下とし、白を $1$ とする。$X,\,Y,\,Z$: XYZ の各成分（$Y$ は白を $1$ とする）。
• $V$: 符号化値（$0\le V\le 1$）。$x$: 線形値（$0\le x\le 1$）。なお色度座標 $(x,\,y)$ は線形値 $x$ と記号が重なるが、§3〜§4 では色度座標を指す。
• $M$: RGB → XYZ の変換行列。$M^{-1}$: XYZ → RGB の変換行列。
• $u',\,v'$: CIE 1976 UCS の色度座標。
• $L^{*}$: 明度。CIE の定義（$0$〜$100$）を $100$ で割った $0$ 以上 $1$ 以下の尺度で表す。したがって「$L^{*}=0.5$」は CIE の $L^{*}=50$ に相当する。
• 明度は段ごとに次の記号で表す。入力（カメラの画像）の明度 $L^{*}$、明るくの後 $L^{*}_{\mathrm{b}}$、くっきりの後 $L^{*}_{\mathrm{c}}$、明度反転の後 $L^{*}_{\mathrm{r}}$。各節では「変換前の明度」と「変換後の明度」をこの記号で示す。反転を行わない場合は $L^{*}_{\mathrm{r}}=L^{*}_{\mathrm{c}}$ である。
• $b$: 明るさのパラメータ（$-0.25\le b\le 0.25$）。$c$: くっきりのパラメータ（$0\le c\le 1$）。

1-3. 処理の流れ

処理は、画像の各画素に次の順で適用される。

符号化された RGB ──(§2) 復号──▶ 線形 RGB ──(§3) 行列──▶ XYZ ──(§4)──▶ u′v′ と L*
L* ──(§5) 明るく ──▶ L*_b ──(§6) くっきり ──▶ L*_c ──(§7) 明度反転 ──▶ L*_r
u′v′ ──(§8) モノクローム: 明・暗の 2 色の u′v′ を L*_r で混合 ──▶ u′v′
(L*_r, u′, v′) ──(§4 の逆)──▶ XYZ ──(§3 の逆)──▶ 線形 RGB ──(§2 の符号化)──▶ 符号化された RGB

斜め上から撮影した対象を補正する処理（§9）は、上の色の計算とは独立に、画面上の点と画像上の点の対応を与える。

2. 伝達関数（ガンマ）

符号化値 $V$（$0\le V\le 1$。8 ビットなら $\frac{\text{画素値}}{255}$）と線形値 $x$（$0\le x\le 1$）の間の関係を、伝達関数として定める [8]。IEC 61966-2-1 の sRGB の関数 [2] を用いる。

復号（符号化値から線形値へ）:

符号化（線形値から符号化値へ）:

2 本の式は $V=0.04045$（$x=0.0031308$）で連続である（$\frac{0.04045}{12.92}=0.0031308$）。

Display P3 の伝達関数は sRGB と同一である。

符号化の前に、色域の外で負になった値は $0$ に置換する（負の数の累乗が定義されないため）。復号と符号化の結果は、いずれも $0$ 以上 $1$ 以下に制限する。

3. RGB と XYZ の間の変換

線形 RGB を列ベクトル $(R,G,B)^{\mathsf T}$ とし、白点を D65 とする。変換行列は、原色の色度と白点から次のように導出する [7][8]。

3-1. 原色と白点からの導出

原色 $i$（$i=\mathrm{R},\mathrm{G},\mathrm{B}$）の色度を $(x_i,y_i)$ とし、その方向ベクトル

を列とする行列を $P=[\mathbf{p}_{\mathrm R}\ \mathbf{p}_{\mathrm G}\ \mathbf{p}_{\mathrm B}]$ とする。白点の色度 $(x_w,y_w)$ に対する同形のベクトルを $\mathbf{W}$ とする。白（$R=G=B=1$）が $\mathbf{W}$ に写像される条件 $P\mathbf{S}=\mathbf{W}$ から、各原色の強さの係数 $\mathbf{S}=P^{-1}\mathbf{W}$ を定める。このとき RGB → XYZ の行列は

であり、白が $Y=1$ となる。XYZ → RGB の行列は $M$ の厳密な逆行列 $M^{-1}$ である。

3-2. sRGB

原色の色度は R$(0.64,\,0.33)$、G$(0.30,\,0.60)$、B$(0.15,\,0.06)$、白点は D65 の $(x,y)=(0.3127,\,0.3290)$ である（IEC 61966-2-1 [2]）。§3-1 により、倍精度の導出値を 7 桁で示すと次を得る。

規格に記載の 4 桁の順行列 [2]（式 (7)）は、導出値を 4 桁に丸めたものに一致する。

規格の 4 桁の逆行列（式 (8)）は、丸めた順行列の逆を丸めたものであり、導出値の逆行列とは 4 桁目で異なる。

3-3. Display P3

原色の色度は R$(0.680,\,0.320)$、G$(0.265,\,0.690)$、B$(0.150,\,0.060)$、白点は D65 の $(0.3127,\,0.3290)$ である（SMPTE EG 432-1 [3]、Apple の定義 [4]）。§3-1 により、同様に次を得る。

3-4. 色空間の置換

XYZ は色空間に依存しない。したがって、入力が sRGB で出力が Display P3 の場合でも、$u'$、$v'$ と $L^{*}$ は XYZ 上で同じ値であり、同一の色は同一の見え方を保ったまま、P3 の広い色域まで表現できる。

4. XYZ と CIELUV

4-1. 色度 $u',\,v'$

CIE 1976 UCS の色度は次で与えられる [6][7]。

xy 色度で表せば

である。$X=Y=Z=0$（黒）では分母が $0$ になるため、D65 の白の値 $(u'_n,\,v'_n)\approx(0.1978,\,0.4683)$ を用いる。

4-2. 明度 $L^{*}$

CIE 1976 の明度（$0$ 以上 $1$ 以下の尺度）は次で与えられる [6][7]。

ここで $9.033$ は $\frac{\kappa}{100}$（$\kappa=\left(\frac{29}{3}\right)^{3}\approx 903.3$）、$0.008856$ は $\varepsilon=\left(\frac{6}{29}\right)^{3}$ に相当する。CIE の定義 $116\,f\!\left(\frac{Y}{Y_n}\right)-16$ を $100$ で割った形であり、境界の $Y=\varepsilon$ で 2 本の式は $L^{*}=0.0800$ に連続する。

4-3. 逆変換

変換後の明度 $L^{*}_{\mathrm{r}}$ と色度 $(u',v')$ から XYZ を得る式は次のとおりである。

ただし $\frac{1}{9.033}\approx 0.11071$ である。

境界 $L^{*}_{\mathrm{r}}=0.08$ は CIE の $L^{*}=8$（$=\frac{\kappa\varepsilon}{100}$）に相当する。式 (15) は、式 (11) の $u',\,v'$ の定義を $X,\,Z$ について解いたものであり、$Y$ を乗じた分だけ明るさが変化し、色度は変化しない。

5. 明るく

変換前の明度 $L^{*}$ に $b$ を加え、変換後の明度 $L^{*}_{\mathrm{b}}$ を得る。

$b$ が正なら全体が明るく、負なら暗くなる。色度は変更しない。

6. くっきり

変換前の明度 $L^{*}_{\mathrm{b}}$ に、ロジスティック関数を両端が $0$ と $1$ に一致するよう正規化した曲線を適用し、変換後の明度 $L^{*}_{\mathrm{c}}$ を得る。

性質

• 端点と中心: $L^{*}_{\mathrm{b}}=0$ のとき $L^{*}_{\mathrm{c}}=0$、$L^{*}_{\mathrm{b}}=1$ のとき $L^{*}_{\mathrm{c}}=1$、$L^{*}_{\mathrm{b}}=0.5$ のとき $L^{*}_{\mathrm{c}}=0.5$ である。曲線は点 $(0.5,\,0.5)$ に関して点対称である。分母 $1-2y_0$ は、両端を $0$ と $1$ に一致させるための正規化である。
• 傾き: $L^{*}_{\mathrm{b}}=0.5$ における傾きは
  $$\frac{dL^{*}_{\mathrm{c}}}{dL^{*}_{\mathrm{b}}}=\frac{t_0}{2\,(1-2y_0)} \tag{20}$$

  で、$c=0$ で約 $1.08$、$c=0.5$ で $5.5$、$c=1$ で $10.5$ となる。$c$ が大きいほど中央付近が急になり、暗い側はより暗く、明るい側はより明るくなって、明暗の差が強調される。

• 逆関数: $y=L^{*}_{\mathrm{c}}\,(1-2y_0)+y_0$ とおくと、
  $$L^{*}_{\mathrm{b}}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{t_0}\ln\!\left(\frac{1}{y}-1\right)\right) \tag{21}$$

  である。

• $c=0$ でも恒等写像ではなく、$t_0=1$ の緩やかな S 字である。恒等写像からの偏差は $L^{*}_{\mathrm{b}}=0.22$ で最大 $-0.0153$ である。
• 明るさとの合成: $b$ を加えると、S 字の中心（$L^{*}_{\mathrm{c}}=0.5$ となる点）は $L^{*}=0.5-b$ に移動する。
• 定義域: $b\ne 0$ のとき $L^{*}_{\mathrm{b}}$ は $[0,1]$ の外に及ぶことがある。その場合、$L^{*}_{\mathrm{c}}$ も $[0,1]$ の外に及ぶことがある（例: $c=0$、$b=\pm 0.25$ で $L^{*}_{\mathrm{c}}$ は $-0.187$ から $1.187$ まで）。$c$ が大きいほど、外へ及んだ分は $0$ または $1$ に漸近する。表示可能な範囲へのクリッピングは、§2 の符号化の段階で行われる。

着想

この S 字は、錐体の応答の圧縮に着想を得ている。CIE の明度が強度の立方根で表されることは、Stevens のべき法則 [9] の当てはめとして知られる。これに対し、錐体の応答の圧縮は、次の分数関数で表される。

これは Naka–Rushton 型の関数 [10] であり、霊長類の錐体の測定にも当てはめられている [11]。同様の圧縮は、色の見えのモデル CIECAM02 [12] と CAM16 [13] の圧縮の段にも用いられている（解説は [14]）。分数関数は、強度の対数に対してロジスティック曲線と同じ S 字を描く。ロジスティック関数を採用した理由は、傾きを 1 つのパラメータ $t_0$ で制御できること、および両端を $0$ と $1$ に一致させる正規化が簡明なことにある。

7. 明度反転

変換前の明度 $L^{*}_{\mathrm{c}}$ から、変換後の明度 $L^{*}_{\mathrm{r}}$ を次で定める。

反転を行わない場合は $L^{*}_{\mathrm{r}}=L^{*}_{\mathrm{c}}$ である。反転は $L^{*}_{\mathrm{c}}$ に対して行う。S 字は点 $(0.5,\,0.5)$ に関して点対称であるため、$b=0$ の場合は、反転とくっきりの順序を入れ替えても結果は変化しない。$b\ne 0$ の場合は順序によって結果が異なる。

8. モノクローム

モノクロームでは、元の画素の色度を破棄し、明の色と暗の色の $u'v'$ を $L^{*}_{\mathrm{r}}$ で混合した色度に置換する。明の色 L と暗の色 D を sRGB の値で指定し、それぞれの色度を §4-1 で求めて $(u'_{\mathrm L},\,v'_{\mathrm L})$、$(u'_{\mathrm D},\,v'_{\mathrm D})$ とする。

• L = D の場合は 1 色モードであり、色度が一定で明るさだけが変化する。L ≠ D の場合は 2 色モードであり、暗い側は D、明るい側は L の色みに近づく。
• 混合は $L^{*}$ ではなく $u'v'$ 平面上の線形補間である。線形補間の結果は 2 点を結ぶ線分上にあり、色域の三角形は凸であるから、$0\le L^{*}_{\mathrm{r}}\le 1$ の範囲では混合した色度は色域外とならない。
• 明・暗の色が黒（XYZ がすべて $0$）の場合は、§4-1 と同じく D65 の白の色度を用いる。

色域でのクリッピング

色度を固定して $Y$ を大きくすると、色度は変化しないまま RGB の線形値が $1$ を超える時点がある。超えた分は符号化で $1$ にクリップされ、色みは白に近づく。色度 $(u',v')$ の色について、単位輝度（$Y=1$）あたりの線形 RGB の最大成分を $\mu$ とすると、クリッピングが始まる輝度は $Y=\frac{1}{\mu}$、すなわち

である。この閾値は色によって異なる。sRGB の線形 RGB による例を示す。

単位輝度あたりの最大成分 $\mu$ が大きい色ほど閾値は低い。たとえば最大成分の小さいセピアは、単位輝度に換算すると $\mu$ が大きく、閾値が $0.799$ と低い。2 色モードの場合は、混合した色度ごとに同じ閾値が決定される。

9. 斜め上から補正

斜めから撮影した紙面を、真上から見た形に補正する。補正は、補正後の画面上の点を画像上の点に写像する 1 つの射影変換 $H$ で表される。

9-1. 透視の逆

紙は平面とし、その中心をカメラの光軸が通るものとする。紙の面は、水平な軸のまわりに傾き角 $\theta$（$0\le\theta<90^{\circ}$）だけ傾いており、紙の上方が奥にあるとする。距離の単位を焦点距離にとり、カメラから紙の中心までの距離を $1$ とする。紙の上の点 $(x_p,\,y_p)$ は 3 次元で $(x_p,\ y_p\cos\theta,\ 1+y_p\sin\theta)$ にあり、その像の座標 $(\Xi,\,\Upsilon)$（焦点距離を単位とする）は

である。画像の正規化座標 $(u,v)$（画像の縁を $\pm 1$ とする）は、画像の幅 $s_x$、高さ $s_y$ と焦点距離 $f$（同じ単位）により

と結ばれる。$\xi,\,\eta$ は画角の半分の $\tan$ であり、$\eta$ は画面の縦の向きのものである。

補正後の画面の正規化座標 $(X,Y)$ を、紙の座標に比例させて $x_p=\xi X$、$y_p=\eta Y$ と定める。これを式 (26) に代入し、$u,\,v$ について整理すると、補正後の画面の点から画像の点への写像が得られる。

これは同次座標で次の $3\times 3$ 行列 $Q^{-1}$ による射影変換である。

$(X,Y,1)^{\mathsf T}$ に $Q^{-1}$ を作用させて得た $(u',\,v',\,w)^{\mathsf T}$ を $w$ で割った $\left(\frac{u'}{w},\frac{v'}{w}\right)$ が $(u,v)$ である。手前の辺が下の場合を示した。手前の辺が右・上・左の場合は、軸と符号を入れ替えた同形の行列を用いる。

紙までの距離は不要である。距離を変えても、補正後の像は一様な倍率が変わるだけである。

縦横比は保たれる。補正後の画面の物理的な座標は、画像の縦横比 $\xi:\eta$ により $(\xi X,\ \eta Y)=(x_p,\ y_p)$ となる。すなわち補正後の像は紙の面の座標そのものであり、紙の面に相似である。したがって、長さの比も角度も保たれ、正方形の紙は正方形に写る。これは Hartley と Zisserman の metric rectification [15]（2.7 節）を、傾きが水平軸のまわりに限られる場合に適用したものである。

9-2. 縁を埋める拡大

補正後の画面の四隅を画像の内側に収めるには、画面の座標を $\frac{1}{m}$ 倍する拡大が要る。手前の角 $\left(\pm\frac{1}{m},\,-\frac{1}{m}\right)$ が画像の内側にある条件 $\dfrac{1/m}{1-\eta\sin\theta/m}\le 1$ から、拡大率は

となる（$\eta\sin\theta<1$ であれば $w>0$ が保たれる）。$m$ は $\theta$ とともに増え、画像の縁の一部は画面の外になる。

9-3. 全体の変換

画面上の点（座標を $0$ 以上 $1$ 以下に正規化したもの）から画像上の点への変換 $H$ は、次の写像の合成である。

ここで $\mathrm{zoom}$ は拡大率、$\mathrm{pan}_x,\,\mathrm{pan}_y$ は移動量、$h_x,\,h_y$ は画面を満たすための比（どちらかが $1$）である。画像から画面への変換は $H$ の逆行列で与えられ、これも $3\times 3$ の射影変換である。

参考文献

[1] K. Asada, "Brighter and Bigger", README (appendix: mathematical expressions of the Brighter and Clearer theory), GitHub repository asada0/BrighterAndBigger, 2019, MIT License. https://github.com/asada0/BrighterAndBigger

[2] IEC 61966-2-1:1999, Multimedia systems and equipment — Colour measurement and management — Part 2-1: Colour management — Default RGB colour space — sRGB, International Electrotechnical Commission; and Amendment 1:2003 (published 23 January 2003).

[3] SMPTE EG 432-1:2010, Digital Source Processing — Color Processing for D-Cinema, Society of Motion Picture and Television Engineers, 10 November 2010. doi:10.5594/SMPTE.EG432-1.2010

[4] Apple Inc., "Display P3", ICC RGB Color Space Registry, International Color Consortium, version 1.0, 9 February 2022. https://registry.color.org/rgb-registry/displayp3 (accessed 22 October 2026). See also Apple Developer Documentation, CGColorSpace.displayP3, https://developer.apple.com/documentation/coregraphics/cgcolorspace/displayp3 (accessed 22 October 2026).

[5] T. Smith and J. Guild, "The C.I.E. colorimetric standards and their use", Transactions of the Optical Society, vol. 33, no. 3, pp. 73–134, 1931–32. doi:10.1088/1475-4878/33/3/301

[6] CIE 15:2004, Colorimetry, 3rd ed., Commission Internationale de l'Éclairage, 2004, ISBN 978-3-901906-33-6 (since superseded by CIE 015:2018).

[7] G. Wyszecki and W. S. Stiles, Color Science: Concepts and Methods, Quantitative Data and Formulae, 2nd ed., John Wiley & Sons, 1982, ISBN 978-0-471-02106-3.

[8] C. Poynton, Digital Video and HD: Algorithms and Interfaces, 2nd ed., Morgan Kaufmann, 2012, ISBN 978-0-12-391926-7.

[9] S. S. Stevens, "On the psychophysical law", Psychological Review, vol. 64, no. 3, pp. 153–181, 1957. doi:10.1037/h0046162

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[13] C. Li, Z. Li, Z. Wang, Y. Xu, M. R. Luo, G. Cui, M. Melgosa, M. H. Brill, and M. Pointer, "Comprehensive color solutions: CAM16, CAT16, and CAM16-UCS", Color Research & Application, vol. 42, no. 6, pp. 703–718, 2017. doi:10.1002/col.22131

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